Matematica Parabola

@giacomo10 

Ti svolgo il primo punto.

y = a·x^2 + b·x + c   è parabola richiesta

passa per P[-3, 2] e per il punto di tangenza T di cui si conosce la retta:

4·x - y + 2 = 0----> per x = - 1 si ha: 4·(-1) - y + 2 = 0 

quindi: -y - 2 = 0----> y = -2---> T[-1, -2]

Possiamo quindi scrivere:

{ 2 = a·(-3)^2 + b·(-3) + c

{-2 = a·(-1)^2 + b·(-1) + c

cioè il sistema: 

{9·a - 3·b + c = 2

{a - b + c = -2

se lo risolviamo rispetto ad a e a b:

[a = (c + 4)/3 ∧ b = 2·(2·c + 5)/3]

Quindi la parabola si riduce ad individuare l'unico parametro c.

Sappiamo che T[-1, -2], quindi applichiamo le formule di sdoppiamento a quanto ottenuto:

y = (c + 4)/3·x^2 + 2·(2·c + 5)/3·x + c

(y - 2)/2 = (c + 4)/3·x·(-1) + 2·(2·c + 5)/3·((x - 1)/2) + c

Sviluppando il 2° membro:

(y - 2)/2 = x·(c + 1)/3 + (c - 5)/3

y = 2·x·(c + 1)/3 + 2·(c - 2)/3

2·x·(c + 1)/3 - y + 2·(c - 2)/3 = 0

che confrontiamo con l'equazione data: 4·x - y + 2 = 0

Si deve quindi avere:

{2·(c + 1)/3 = 4

{2·(c - 2)/3 = 2

Per ciascuna delle due equazioni si ottiene il risultato: c = 5

Quindi abbiamo la parabola: 

a = (5 + 4)/3 ∧ b = 2·(2·5 + 5)/3

[a = 3 ∧ b = 10]

y = 3·x^2 + 10·x + 5