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matematica

  

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Determina il punto P‘, simmetrico di P (-1, 2) rispetto alla retta r. x+2y+4=0.

(-19/5,-18/5)

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@lingling_zhu 

Ho risposto (scusa, mi stavo dimenticando!)

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Se mi ricordo domani ti invio la risoluzione analitica. Buona notte.

x + 2·y + 4 = 0 è asse del segmento congiungente P a P'

quindi: y = - x/2 - 2  : m = - 1/2

Scrivo retta perpendicolare a questa per P:[-1, 2]

y - 2 = 2·(x + 1)----> y = 2·x + 4

Metto a sistema:

{y = - x/2 - 2

{y = 2·x + 4

risolvo e determino il centro di simmetria:

[x = - 12/5 ∧ y = - 4/5]--------> C: [- 12/5, - 4/5]

Il punto P? è quindi dato da:

{x = 2·(- 12/5) + 1

{y = 2·(- 4/5) - 2

quindi il punto P' ha coordinate:

{x = - 19/5

{y = - 18/5

 

 



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Io per principio non ho mai imparato nulla a memoria, tranne le poesie: non certo le formule!
Se mi serviva una formula andavo a cercarmela su un opportuno formulario.
Poi pian piano la InterNet è diventata sempre più usabile diventando prima internet e infine www (world wide web) che è molto meglio di un formulario da compulsare.
Però ogni tanto capita anche di doversi ricalcolare ciò che serve perché la formula non si ricorda, ma i significati bisogna saperli e saperli usare!
Che cosa significa che P' è il simmetrico di P rispetto alla retta r?
Significa che r è l'asse del segmento PP'.
Che cosa significa che una retta r è asse di un segmento AB?
Significa che r è il luogo dei punti (cioè l'insieme di tutti e soli i punti) equidistanti dagli estremi del segmento, cioè l'insieme dei vertici di ogni possibile triangolo isoscele sulla base AB; quindi che r è la retta ortogonale ad AB per il suo punto medio.
Dal momento che la relazione di ortogonalità è simmetrica dire che r è ortogonale ad AB equivale a dire che AB è ortogonale ad r.
Una volta rammentata questa mini catena di significati il da farsi è chiaro: tracciare da P la retta p perpendicolare ad r; puntare il compasso nell'intersezione H delle due rette e, con apertura HP, riportare la distanza su p dall'altro lato di r ottenendo P'.
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Analiticamente
* r ≡ x + 2*y + 4 = 0 ≡ y = - (x + 4)/2
ha pendenza m = - 1/2, quindi le sue perpendicolari p hanno pendenza m' = - 1/m = 2 ed equazione
* p ≡ y = 2*x + q
fra queste quella per P(- 1, 2) è
* p ≡ y = 2*x + 4
che interseca r nella soluzione di
* p & r ≡ (y = 2*x + 4) & (y = - (x + 4)/2) ≡ H(- 12/5, - 4/5)
che dista da P l'apertura di compasso
* |HP| = R = √((- 12/5 + 1)^2 + (- 4/5 - 2)^2) = 7/√5
quindi il giro Γ di compasso ha l'equazione
* Γ ≡ (x + 12/5)^2 + (y + 4/5)^2 = (7/√5)^2
che interseca P nelle soluzioni di
* p & Γ ≡ (y = 2*x + 4) & ((x + 12/5)^2 + (y + 4/5)^2 = (7/√5)^2) ≡
≡ P(- 1, 2) oppure P'(- 19/5, - 18/5)
che è proprio il risultato atteso.



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