Matematica

per n=2 si ha 4>0

per n=3 si ha 9>2

allora si suppone che sia vera $n^2>2n-4$ e va dimostrato che è vero $(n+1)^2>2(n+1)-4$

svolgiamo quest'ultima:

$n^2+2n+1>2n+2-4$

$n^2+2n+1>2n-2$

$n^2>-3$

Non c'è nemmeno bisogno di invocare l'ipotesi, questa disuguaglianza è verificata per ogni $n$ 

Anzitutto una bottarella di verifica (anti errori di scrittura).
* x^2 >= 2*x - 4 ≡
≡ x^2 - 2*x + 4 >= 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + 3 >= 3 > 0 ≡
≡ ovunque, quindi anche sui naturali: scrivere l'induzione non sarà tempo sprecato, la dimostrazione andrà a buon fine.
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Come caso base si può verificare la
* n^2 > 2*n - 4 = 2*(n - 2)
su un qualunque intero minore di tre, p.es. su n = - 17
* (- 17)^2 > 2*(- 17 - 2) ≡ 289 > - 38 ≡ Vero
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Ipotesi induttiva: esiste un intero k che verifica la k^2 > 2*k - 4.
Tesi: il successore dell'intero k verifica anch'esso la (k + 1)^2 > 2*(k + 1) - 4.
Dimostrazione
* (k + 1)^2 > 2*(k + 1) - 4 ≡
≡ k^2 + 2*k + 1 > 2*k - 2 ≡
≡ k^2 > 2*k - 2 - (2*k + 1) ≡
≡ k^2 > - 3 ≡
≡ Vero di suo, senza nemmeno usare l'ipotesi induttiva
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Boh, che strano esercizio! Sarà vecchiaia, ma non l'ho capito.