[Risolto] matematica

Ogni equazione razionale intera a coefficienti reali, di grado n nella variabile reale x, si può ridurre alla forma
* p(x) = 0
dove p(x) è un polinomio di grado n: gli zeri del polinomio sono le radici dell'equazione.
Anche facendo cadere la condizione che la variabile sia reale e scrivendo p(z) per p(x), ogni polinomio a coefficienti reali è decomponibile in un prodotto di altri polinomi a coefficienti reali, più semplici, di grado non superiore a due.
Nella scomposizione:
* C'è un solo fattore costante (di grado zero) che è il coefficiente direttore.
* C'è un fattore della forma (z - x0) per ogni zero reale semplice x0.
* Ci sono k fattori della forma (z - x0) [cioè un fattore della forma (z - x0)^k] per ogni zero reale x0 di molteplicità k.
* C'è un fattore della forma (z^2 + b*z + c) per ogni coppia di zeri complessi coniugati (x0 ± y0).
* Ci sono k fattori della forma (z^2 + b*z + c) [cioè un fattore della forma (z^2 + b*z + c)^k] per ogni coppia di zeri complessi coniugati (x0 ± y0) di molteplicità k.
* Non ci sono fattori di altre forme.
---------------
Quindi un polinomio di grado sei come
* p(z) = z^6 - 27
essendo scomponibile nel prodotto di tre fattori di forma (z^2 + b*z + c) deve avere un numero pari di zeri reali.
------------------------------
SCOMPOSIZIONE
---------------
Con a = z^2 si ha una differenza di cubi
* p(z) = z^6 - 27 = a^3 - 3^3 =
= (a - 3)*(a^2 + 3*a + 9) =
= (a - 3)*(a - (3/2)*(- 1 - i*√3))*(a - (3/2)*(- 1 + i*√3)) =
= (z^2 - 3)*(z^2 - (3/2)*(- 1 - i*√3))*(z^2 - (3/2)*(- 1 + i*√3)) =
= (z + √3)*(z - √3)*(z^2 - (3/2)*(- 1 - i*√3))*(z^2 - (3/2)*(- 1 + i*√3))
quindi
* x^6 - 27 = 0
ha le due radici reali x = ± √3.

@AnnaRo

Due soluzioni reali:

X1 = radice (3) , X2 = - radice (3)

Infatti 

X^6 - 27 = 0

(x³ + radice (27))*(x³ - radice (27)) = 0

Quindi:

X³ = - radice (3³)   ==> x = - radice (3)

x³ = radice (3³)      ==> x = radice (3)

x^6 = 3^3

per la proprietà delle potenze 

x^2 = 3

x = ± √3

x^6 = 27;  è di 6° grado, ha 6 soluzioni, ma non tutte reali.

(x^2)^3 = 3^3;

x^2 = 3;

x = ± rad(3);

x1 = + rad(3);

x2= - rad(3);

 ha due soluzioni reali. (Altre soluzioni sono nel piano complesso).

Scomponendo il binomio: a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2);

x^6 - 3^3 = (x^2)^3 - 3^3

x^6 - 3^3 = (x^2 - 3) * (x^4 + 3x^2 + 9);

(x^2 - 3) * (x^4 + 3x^2 + 9) = 0

x^2 - 3 = 0; ci dà soluzioni reali.

x^4 + 3x^2 + 9 = 0;

y = x^2,

y^2 + 3y + 9 = 0;

y = [-3 +- rad(9 - 36)] / 2;

y = [- 3 +- rad(- 27)] /2;

y = [- 3 +- i * rad(27) ] / 2.

le soluzioni sono immaginarie

@annaro ciao