Luoghi geometrici e retta

L’esercizio è formulato male a mio giudizio. Comunque credo che la soluzione è nel disegno allegato.

Quindi :

[x, y] è il punto corrente su una delle due rette cercate. Si tratterrà quindi di dire che:

√5 = ABS(x - 2·y - 1)/√(1 + (-2)^2)

cioè la distanza che separa tale punto dalla retta data è pari a d=√5 in modo tale da poter ottenere una striscia appunto pari a 2√5

√5 = ABS(x - 2·y - 1)/√5-----> ABS(x - 2·y - 1) = 5

risolvendo rispetto ad y l'equazione in modulo si ottengono le due rette di figura:

y = x/2 - 3 ∨ y = x/2 + 2

La retta
* r ≡ x - 2*y - 1 = 0 ≡ y = (x - 1)/2
ha pendenza m = 1/2 e fa parte, come le due richieste, del fascio improprio
* p(q) ≡ y = (x + q)/2
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La circonferenza Γ, di centro C(1, 0) su r e di raggio R = √5,
* Γ ≡ (x - 1)^2 + y^2 = 5
ha diametro 2*R = 2*√5 e perciò le sue tangenti del fascio p(q) sono proprio le due rette che delimitano la striscia richiesta.
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Il sistema
* p(q) & Γ ≡ (y = (x + q)/2) & ((x - 1)^2 + y^2 = 5)
ha risolvente
* (x - 1)^2 + ((x + q)/2)^2 - 5 = 0 ≡
≡ x^2 + ((2*q - 8)/5)*x + (q^2 - 16)/5 = 0
con discriminante
* Δ(q) = - (16/25)*(q + 6)*(q - 4)
che s'annulla per i parametri delle tangenti
* q = - 6: t ≡ p(- 6) ≡ y = (x - 6)/2
* q = 4: t ≡ p(4) ≡ y = (x + 4)/2
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%5B%28x-2y-1%29*%28x-2y%2B4%29*%28x-2*%28y%2B3%29%29%3D0%2C%28x-1%29%5E2%2By%5E2%3D5%5D