LEGGI IL GRAFICO

Coefficiente angolare della retta tangente la conica (y=ax²+bx) nel punto (x0;y0)

m= 2a*x0 + b

La retta tangente la conica ha coefficiente angolare mt=2/2=1

Con A(1;3/2) => 2a+b=1

L'appartenenza del punto A alla parabola fornisce la seconda equazione => 3/2=a+b

Mettendo a sistema le due equazioni si ricavano i valori dei parametri 

a= - 1/2 ; b=2

Quindi la parabola ha equazione y= - 1/2* x² + 2x

Vertice V=(2;2)

Scelto P(x;y) con x, y>0 osservo che la retta tangente è sopra la PARABOLA (non serve il modulo nella formula della distanza punto retta) 

PH= (2x-2y+1)/radice (8)

PK= y

Imponendo la condizione richiesta si ricava 

{2x+2y-9=0

{y= - 1/2*x² + 2x

Da cui (x-3)²=0 => x=3; y=3/2

Conosco il rapporto A1/A2 ma anche la somma (ascolta il suggerimento di Archimede) 

A1+A2 = (2/3)*4*2 = 16/3

Mettendo a sistema le due equazioni si ricava 

A1= (4/3)*radice (2)

Sappiamo che A1=1/6*|a|*|x2 - x1|³

Le ascisse dei punti di intersezione tra la retta y=c e la parabola sono 

x21= 2±radice (4-2c) ; c<2

Quindi:

A1=(1/6)*(1/2)* [2*radice (4-2c)]³  ; c<2

Imponendo la condizione richiesta (A1= (4/3)*radice (2)) si ricava il valore di c

(8/12)*(radice (4-2c))³ = (4/3)*radice (2)

[radice (4-2c)]³ = 2*radice (2)

c=1

La retta
* s ≡ 2*x - 2*y + 1 = 0 ≡ y = x + 1/2
passa dal punto A(1, 3/2) con pendenza m = 1.
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La parabola
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
con pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
deve passare per O(0, 0) e per A(1, 3/2) e, in A, avere pendenza m(1) = m = 1.
Le tre condizioni formano il sistema
* (0 = h + a*(0 - w)^2) & (3/2 = h + a*(1 - w)^2) & (1 = 2*a*(1 - w)) ≡
≡ (a = - 1/2) & (w = 2) & (h = 2)
da cui
* Γ ≡ y = 2 - (x - 2)^2/2 ≡ y = x*(4 - x)/2
quindi Γ ha
* asse di simmetria x = 2
* vertice V(2, 2)
* Fuoco F(2, 2 + 1/(4*a)) = (2, 3/2)
* direttrice d ≡ y = 2 - 1/(4*a) = 5/2
* zeri X1 = 0, X2 = 4
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Quesito A
Il generico P sull'arco nel primo quadrante è
* P(k, k*(4 - k)/2) & (0 <= k <= 4)
con le distanze nominate
* |PH| = (k - 1)^2/√8 & (0 <= k <= 4)
* |PK| = |k*(4 - k)/2| & (0 <= k <= 4)
e la condizione richiesta
* (|PH| + (√2)*|PK| = 5*√2/2) & (0 <= k <= 4) ≡
≡ ((k - 1)^2/√8 + (√2)*|k*(4 - k)/2| = 5/√2) & (0 <= k <= 4) ≡
≡ ((k - 1)^2/2 + |k*(4 - k)| = 5) & (0 <= k <= 4) ≡
≡ (k ∈ {(5 - 2*√13)/3 ~= - 0.74, 3, (5 - 2*√13)/3 ~= 4.07}) & (0 <= k <= 4) ≡
≡ k = 3
da cui
* P(3, 9/2)
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Quesito B
L'area del segmento parabolico retto è due terzi di quella del rettangolo circoscritto.
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Per calcolare l'area A1 serve la corda base sulla y = c (0 < c < 2), distanza d fra le intersezioni
* (y = c) & (y = x*(4 - x)/2) ≡
≡ (2 - √(2*(2 - c)), c) oppure (2 + √(2*(2 - c)), c)
da cui
* d = 2*√(2*(2 - c))
* A1 = (2/3)*d*(yV - c) =
= (2/3)*(2*√(2*(2 - c)))*(2 - c) = (4*√2/3)*√((2 - c)^3)
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L'intero segmento ha area
* A = (2/3)*(4 - 0)*(2 - 0) = 16/3
quindi
* A2 = A - A1 = 16/3 - (4*√2/3)*√((2 - c)^3)
e infine
* A1/A2 = √2/(4*√((2 - c)^3) - 1) = 1/(2*√2 - 1)
da cui
* (√2/(4*√((2 - c)^3) - 1) = 1/(2*√2 - 1)) & (0 < c < 2) ≡
≡ c = (4 - ∛((27 - 10*√2)/2))/2 ~= 1.070285