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[Risolto] qualcuno che mi aiuta con le disequazioni ?

  

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Determina i valori di $a$ per i quali la parabola di equazione $y=\left(4-a^{2}\right) x^{2}-6 a x+3$ ha:
a. concavità verso il basso;
b. vertice con ascissa positiva.

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a. Concavità verso il basso.

Questo significa che il coefficiente del termini quadratico è negativo

4-a² < 0

a² > 4

a < -2 V a > 2

 

b. Vertice V(xV,yV) con ascissa positiva, cioè xV>0

-b/2a > 0

-(-6a)/[2(4-a²)] > 0

3a/(4-a²) > 0

Dobbiamo considerare due casi:

 

i) Se 4-a² < 0 cioè a < -2 V a > 2 (vedi punto a)

allora il rapporta sarà verificato se 

3a < 0 ⇒ a < 0 quindi solo per a < -2

 

ii) Se invece 4-a² > 0 cioè -2 < a < 2 (caso di parabola convessa o concavità verso l'alto)

allora il rapporta sarà verificato se

3a > 0 ⇒ a > 0 quindi solo per 0 < a < 2

 

NB. Nel caso a=0 la parabola corrispondente y=4x²+3 ha vertice con ascissa nulla.

@cmc Ciao cmc potresti spiegarmi i passaggi del punto b)? grazie mille



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Parlando di parabole è d'uso chiamare "a" il coefficiente direttore (l'apertura, a != 0), "b" il coefficiente del termine in x e c il termine noto; se c'è un solo parametro, come in questo caso, lo si chiama "k".
Perciò la generica equazione di parabola
* y = a*x^2 + b*x + c
con i tuoi coefficienti
* a = 4 - k^2
* b = - 6*k
* c = 3
si scrive (puoi trascurare le tre linee intermedie)
* y = (4 - k^2)*x^2 - 6*k*x + 3 ≡
≡ y = (4 - k^2)*(x^2 - (6*k/(4 - k^2))*x + 3/(4 - k^2)) ≡
≡ y = (4 - k^2)*((x - 3*k/(4 - k^2))^2 - (3*k/(4 - k^2))^2 + 3/(4 - k^2)) ≡
≡ y = (4 - k^2)*((x - 3*k/(4 - k^2))^2 - 12*(k^2 - 1)/(k^2 - 4)^2) ≡
≡ y = (4 - k^2)*(x - 3*k/(4 - k^2))^2 + 12*(k^2 - 1)/(k^2 - 4)
da cui si rilevano le coordinate del vertice
* V(3*k/(4 - k^2), 12*(k^2 - 1)/(k^2 - 4))
==============================
RISPOSTE AI QUESITI
------------------------------
a) concavità verso il basso
La concavità è rivolta verso y < 0 se e solo se l'apertura è negativa.
* a = 4 - k^2 < 0 ≡ |k| > 2 ≡ (k < - 2) oppure (k > 2)
------------------------------
b) vertice con ascissa positiva
Una frazione è positiva se e solo se ha termini concordi.
* xV = 3*k/(4 - k^2) ≡
≡ (3*k < 0) & (4 - k^2 < 0) oppure (3*k > 0) & (4 - k^2 > 0) ≡
≡ (k < 0) & ((k < - 2) oppure (k > 2)) oppure (k > 0) & (- 2 < k < 2) ≡
≡ (k < 0) & (k < - 2) oppure (k < 0) & (k > 2) oppure (0 < k < 2) ≡
≡ (k < - 2) oppure (insieme vuoto) oppure (0 < k < 2) ≡
≡ (k < - 2) oppure (0 < k < 2)



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