[Risolto] Iperbole equilatera e retta tangente

Temo che sia il titolo che il risultato atteso pecchino di eccessivo ottimismo, ingiustificato dal testo.
------------------------------
"Scrivi l'equazione": fissa l'obiettivo.
"dell'iperbole Γ avente i fuochi sull'asse y": Γ ≡ (x/a)^2 - ((y - h)/b)^2 = - 1, con a > 0 e b > 0.
"tangente ...": vedi oltre.
"... nel punto P(-2, 2)": (- 2/a)^2 - ((2 - h)/b)^2 = - 1 ≡ (a = 2*b/√((h - 2)^2 - b^2)) & (h != 2)
da cui
* Γ ≡ (b^2 - (h - 2)^2)*x^2 + 4*(y - h)^2 - 4*b^2 = 0, con b > 0 e h != 2.
------------------------------
"tangente ... alla retta t passante per P e parallela alla retta x + 3y = 0":
* x + 3*y = 0 ≡ y = - x/3, di pendenza m = - 1/3
* t ≡ y = 2 - (x + 2)/3
Per imporre la tangenza si forma il sistema
* t & Γ ≡ (y = 2 - (x + 2)/3) & ((b^2 - (h - 2)^2)*x^2 + 4*(y - h)^2 - 4*b^2 = 0) & (b > 0) & (h != 2)
e la sua risolvente
* ((b^2 - (h - 2)^2)*x^2 + 4*(2 - (x + 2)/3 - h)^2 - 4*b^2 = 0) & (b > 0) & (h != 2) ≡
≡ ((9*(b^2 - (h - 4)*h) - 32)*x^2 + 8*(3*h - 4)*x + 4*((3*h - 4)^2 - 9*b^2) = 0) & (b > 0) & (h != 2)
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(b) = 144*(9*b^4 - 6*(3*h - 4)*(h - 2)*b^2 + ((3*h - 4)*(h - 2))^2)
cioè
* (9*b^4 - 6*(3*h - 4)*(h - 2)*b^2 + ((3*h - 4)*(h - 2))^2 = 0) & (b > 0) & (h != 2) ≡
≡ (b = √(h^2 - 10*h/3 + 8/3)) & ((h <= 4/3) oppure (h > 2))
da cui
* Γ(h) ≡ (2*(h - 2)/3)*x^2 + 4*(y - h)^2 - (4/3)*(3*h - 4)*(h - 2) = 0, con (h <= 4/3) oppure (h > 2)
che è l'unica equazione ottenibile dall'interpretazione letterale del testo e rappresenta un fascio di iperboli, tutte soddisfacenti alle specificazioni, fra cui solo la Γ(0) è il risultato atteso e solo la Γ(8) è equilatera.

 

x + 3y + k = 0

-2 + 6 + k = 0

k = -4

t) x + 3y - 4 = 0

deve coincidere per la formula di sdoppiamento con

xox/a^2 - yoy/b^2 = -1

ovvero

x/4 + y/(4/3) = 1

deve riprodurre

-2x/a^2 + 2y/b^2 = -1

2/a^2 x - 2/b^2 y = 1

2/a^2 = 1/4

a^2/2 = 4

a^2 = 8

2/b^2 = 3/4

b^2/2 = 4/3

b^2 = 8/3

l'equazione richiesta si scrive allora

x^2/8 - y^2/(8/3) = - 1

x^2 - 3y^2 = -8

https://www.desmos.com/calculator/qwgca9mscy

 

equilatera ???