[Risolto] Iperbole

{x^2 - y^2 = a^2

{x - 4·y = 0

Risolvo:

[x = 4·√15·a/15 ∧ y = √15·a/15, x = - 4·√15·a/15 ∧ y = - √15·a/15]

Quindi calcolo distanza fra i due punti trovati:

√((4·√15·a/15 + 4·√15·a/15)^2 + (√15·a/15 + √15·a/15)^2)=

=√((8·√15·a/15)^2 + (2·√15·a/15)^2)=

=√(64·a^2/15 + 4·a^2/15) =

=√(68·a^2/15)

Impongo che sia:

√(68·a^2/15) = 16·√(17/15)

risolvo ed ottengo:

a = -8 ∨ a = 8

La retta secante
* s ≡ x - 4*y = 0 ≡ y = x/4
passa per l'origine con pendenza m = 1/4.
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Il fascio di parametro reale "a"
* Γ(a) ≡ x^2 - y^2 = a^2
genera solo iperboli equilatere riferite ai proprii assi con vertici V(± a, 0) e asintoti le bisettrici dei quadranti, di pendenze ± 1: s, con pendenza m = 1/4, cade negli angoli con le Γ(a).
Per a = 0, Γ(0) degenera sugli asintoti; Per a^2 > 0, Γ(a) interseca s su entrambi i rami nei punti soluzione di
* s & Γ(a) ≡ (y = x/4) & (x^2 - y^2 = a^2) & (a^2 > 0) ≡
≡ A(- 4*a/√15, - a/√15) oppure B(4*a/√15, a/√15)
distanti fra loro
* |AB| = d(a) = (2*√(17/15))*|a|
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* d(a) = (2*√(17/15))*|a| = 16*√(17/15) ≡
≡ 2*|a| = 16 ≡
≡ |a| = 8 ≡ a = ± 8

Vista la simmetria del problema 

O=origine assi (0;0)

P= intersezione tra iperbole e retta nel primo quadrante (k;k/4)

Dall'appartenenza di P alla conica:

a²=(15/16)*k²

Imponendo la condizione richiesta si ricava 

k²/16= 64/15

k²=(64/15)*16

Per sostituzione 

a²=64