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[Risolto] integrali

  

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Rappresenta graficamente la funzione $y=\sqrt{\frac{x}{4-x}}$ e determina l'area della regione finita di piano compresa fra la curva, l'asse $y$ e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. (suggerimento Per il calcolo dell'integrale poni $x=4 \sin ^2 t$.)
$$
\left[\frac{11}{9} \sqrt{3}-\frac{2}{3} \pi\right]
$$

IMG 3251

 

mi potete aiutare per favore ?

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Sino a retta tangente alla funzione:

y = √(x/(4 - x))

nel suo punto di flesso.

La funzione è definita per:

x/(4 - x) ≥ 0-----> 0 ≤ x < 4

In tale intervallo risulta non negativa.

Le due derivate sono:

y'=2·√(x/(4 - x))/(x·(4 - x))

y''=4·(x - 1)·√(x/(4 - x))/(x^2·(x - 4)^2)

Risulta sempre crescente nell'intervallo:

2·√(x/(4 - x))/(x·(4 - x)) > 0----> 0 < x < 4

Presenta un asintoto verticale in x=4

La derivata seconda ha flesso in:

4·(x - 1)·√(x/(4 - x))/(x^2·(x - 4)^2) = 0

x = 1

per cui la funzione vale:

y = √(1/(4 - 1)) = √3/3

Flesso in [1, √3/3]

Il coefficiente angolare m è pari a:

m=2·√(1/(4 - 1))/(1·(4 - 1))= 2·√3/9

retta tangente:

y - √3/3 = 2·√3/9·(x - 1)

y = 2·√3·x/9 + √3/9

image

 

 



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image

∫(- √(x/(4 - x)) + 2·√3·x/9 + √3/9)dx=11·√3/9 - 2·pi/3

valutato da x=0 ad x=1



Risposta




SOS Matematica

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