Notifiche
Cancella tutti

Integrale definito

  

0

Buonasera, dovrei risolvere l'integrale definito fra 0 e 1 della funzione (x^1/2)/(x (x - 2)). Come posso procedere?

Autore
Etichette discussione
2 Risposte



3

Parte prima : sostituzione

 

S sqrt(x)/(x(x-2)) dx

poni sqrt(x) = t

x = t^2

dx = 2t dt

 

S t * 2t dt /(t^2*(t^2-2)) ) = 2 S dt/(t^2 - 2) =

= 2 [ S A dt /( t - rad(2)) + S B dt / (t + rad(2) )

Porti avanti la decomposizione in fratti semplici e hai due integrali immediati.

 

Parte seconda

A ( t + rad(2)) + B ( t - rad(2) ) = 2 per ogni t

A + B = 0

A - B = rad(2)

 

A = rad(2)/2 e  B = - rad(2)/2

 

Viene quindi    rad(2)/2 * S ( 1/(t - rad(2)) - 1/(t + rad(2)) ) dt =

= rad(2)/2 * ln | [rad(x) - rad(2)]/[ rad(x) + rad(2) ] + C

per x = 1   ottieni   rad(2)/2 * ln (rad(2) - 1)/(rad(2) + 1)

per x = 0    ottieni ln 1 = 0

Il valore é quindi   rad(2)/2 ln (rad(2)-1)^2 = rad(2) ln (rad(2) - 1)

 

Nota - so che é esatto perché Symbolab dà un risultato numericamente equivalente

 

@eidosm ok, grazie, avevo seguito grossomodo lo stesso procedimento ma nel mio usciva un ln(-1) che non mi convinceva ad un certo punto, nonostante il valore numerico uscisse corretto.



2

Non si capisce quale sia la funzione integranda. E' forse questa:

y = √x/(x·(x - 2)) ??

---------------------------------------

Procediamo per sostituzione:

√x = t----> x = t^2----> dx = 2·t·dt

Quindi abbiamo una funzione integranda in t:

t/(t^2·(t^2 - 2))·2·t = 2/(t^2 - 2) = 2/((t-√2)(t+√2))

quindi:

∫(2/((t - √2)·(t + √2)))dt =  √2·LN(t - √2)/2 - √2·LN(t + √2)/2 +C

che in x è:

√2·LN(√x - √2)/2 - √2·LN(√x + √2)/2 +C

valutato in [0,1]

√2·LN(√2 - 1)

@lucianop ho evitato di usare il simbolo di radice perché in passato mi è stato detto che è poco chiaro. Comunque sì, la funzione è quella



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA