[Risolto] Identità goniometrica

Per scrivere "π" o "α" serve un Copia/Incolla, ma per scrivere "x" basta la tastiera; π è irrinunciabile, α no.
L'eguaglianza
* (sin(3*x) - (cos(3*π/2 - x))^3)/(tg(x/2) - tg(x)) = - 3*cos^3(x)*(1 + cos(x))
non può essere un'identità in quanto la funzione a secondo membro è definita ovunque mentre quella a primo membro è indefinita per x eguale ad ogni multiplo pari di π.
Limitatamente al primo giro (ambo i membri hanno periodo 2*π), ma aperto (privo dello zero 0 < x < 2*π) è lecito procedere a semplificazioni senza remore e ottenere l'identità condizionata.
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COME PROCEDERE
Nella nebbia o al buio necessariamente a piccoli passi molto cauti.
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A) Le formule di duplicazione (sin|cos(2*x) = ...) e di addizione (sin|cos(2*x + x) = ...), più un po' d'algebra, danno quelle di triplicazione
* sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*sin^3(x)
* cos(3*x) = 4*cos^3(x) - 3*cos(x)
da cui
* cos^3(x) = (3*cos(x) + cos(3*x))/4
* (cos(3*π/2 - x))^3 = (3*cos(3*π/2 - x) + cos(9*π/2 - 3*x))/4
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B) Le formule di sottrazione danno
* cos(3*π/2 - x) = - sin(x)
* cos(9*π/2 - 3*x) = sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*sin^3(x)
da cui
* (cos(3*π/2 - x))^3 = (- 3*sin(x) + 3*sin(x) - 4*sin^3(x))/4 = - sin^3(x)
numeratore primo membro
* (sin(3*x) - (cos(3*π/2 - x))^3) =
= (3*sin(x) - 4*sin^3(x) - (- sin^3(x))) =
= 3*(sin(x) - sin^3(x))
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C) Denominatore primo membro (bisezione)
* sin(x/2) = ± √((1 - cos(x))/2)
* cos(x/2) = ± √((1 + cos(x))/2)
da cui
* tg(x/2) - tg(x) = sin(x/2)/cos(x/2) - sin(x)/cos(x) =
= ± √((1 - cos(x))/2)√((1 + cos(x))/2) - sin(x)/cos(x) =
= ± sin(x)/2 - sin(x)/cos(x) =
= (- sin(x)/2 - sin(x)/cos(x)) oppure (sin(x)/2 - sin(x)/cos(x))
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D) prosegui da te, sempre a piccoli passi.