torna Le orbite di $\alpha$ le troviamo semplicemente "ripercorrendo" la trasformazione procedendo di valore in valore, finché non torniamo al valore di partenza.
Ad esempio abbiamo che l'1 si trasforma in 3, ma il 3 si trasforma in 5, il 5 in 7 e il 7 in 9. Il 9 torna in 1, quindi chiudiamo l'orbita. Procedendo così troviamo quindi tre cicli disgiunti:
$ O(1)=(1,3,5,7,9)$
$ O(2)=(2,6,4,10)$
$ O(8)=(8)$
La decomposizione in cicli disgiunti dell'inversa è banalmente la stessa di prima, ma ripercorrendo i cli al contrario:
$ O^{-1}(1)=(1,9,7,5,3)$
$ O^{-1}(2)=(2,10,4,6)$
$ O^{-1}(8)=(8)$
Cerchiamo ora di determinare $\alpha^{66610}$.
Notiamo che $O(1)$ ha periodo 5, ed essendo $66610=0mod5$, vuol dire che $\alpha^{66610}$ fissa gli elementi di $O(1)$.
Analogamente $O(8)$ ha periodo 1, quindi $\alpha^{66610}$ fissa anche 8.
Per quanto riguarda gli elementi in $O(2)$, che ha periodo 4, abbiamo che $66610=2mod4$ quindi per gli elementi in $O(2)$, $\alpha^{66610}=\alpha^2$ Abbiamo dunque i cicli $(2,4)$ e $(6,10)$.
Per praticità chiamo $\alpha^{66610}= \beta$, così da non portarmi dietro l'esponente.
Possiamo dunque esplicitare $\beta=:\alpha^{66610}$ come:
$ \beta=\left(\begin{array}{cccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
1 & 4 & 3 & 2 & 5 & 10 & 7 & 8 & 9 & 6 \\
\end{array}\right)$
Notiamo che $ \beta^2$ è l'identità, dunque il gruppo generato da $\beta$ è $<\beta>=\{1, \beta\}$
D'altra parte il gruppo alterno $A_{10}$ è costituito da tutte le permutazioni pari di 10 elementi. Essendo $\beta$ pari ($\beta^2=1$), abbiamo che in realtà:
$ G := <\beta> \cap A_{10} = \{1, \beta\}$
e dunque il generatore ciclico di G è proprio $\beta$.
Noemi
