Geometria - teoremi di Pitagora e di Euclide

@user123456

L'area del rombo è:

A= 6*8 = 48 cm²

Sappiamo che i due poligoni hanno la stessa area.

Sappiamo inoltre che in un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza, bisettrice dell'angolo al vertice...

Quindi la mediana relativa alla base è:

M_base = (A*2)/b = 48*2/8 = 12 cm

Per determinare la lunghezza della mediana relativa al lato obliquo, possiamo ricordare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è // al terzo e risulta essere la sua metà.

I triangoli CMN e ABC risultano simili con rapporto di similitudine k=1/2. (conseguenza teorema di Talete) 

Con riferimento alla figura, il segmento:

MN= AB/2 = 4 cm

MK = CH/2 = 12/2 = 6 cm

AK = AH+HK = AH+MN/2 = 4+2= 6 cm

Il triangolo AKM è quindi rettangolo isoscele e la mediana:

AM= 6*radice (2)  cm

Area del rombo $A= \frac{D*d}{2} = \frac{12*8}{2} = 48~cm^2$.

Triangolo isoscele equivalente al rombo cioè con stessa area:

a) altezza = mediana relativa alla base $m_{AB}= \frac{2A}{AB} = \frac{2*48}{8} = 12~cm$ (formula inversa dell'area del triangolo);

ciascun lato obliquo $BC=AC= \sqrt{12^2+\big(\frac{8}{2}\big)^2} = \sqrt{12^2+4^2}= 4\sqrt{10}~cm$ (teorema di Pitagora);

b) mediana relativa ai lati obliqui, per esempio al lato BC:

$m_{BC} = \frac{\sqrt{2(8^2+(4\sqrt{10})^2)-(4\sqrt{10})^2}}{2} = 6\sqrt{2}~cm$.

Un triangolo isoscele la cui base AB è lunga 8 cm è equivalente a un rombo le cui diagonali sono lunghe D = 12 cm e d = 8 cm. 

a. Determina la lunghezza della mediana relativa ad AB.

b. Determina la lunghezza delle mediane relative ai lati obliqui.

rombo :

area A =  d*D/2 = 8*6 = 48 cm^2

triangolo 

altezza CH = 2A/AB = 96/8 = 12 cm (mediana relativa ad AB)

BC = √BH^2+CH^2 = √12^2+4^2 = 4√10

teorema della mediana AK (mediana relativa a BC)

2*AK^2 = AB^2+AC^2-BC^2/2 

AK = √(8^2+(4√10)^2-(4√10)^2/2)/2 = √(64+160-80)/2= √72 = √36*2 = 6√2  cm 

verifica con CH 

2*CH^2 = 160+160-32 = 288

CH = √288/2 = 12,0 cm (It works !!!)