nel triangolo ABC, il punto medio dell’ipotenusa AB è M e la circonferenza di diametro CM interseca AC in P e CB in Q. Dimostra che PQ // AB
nel triangolo ABC, il punto medio dell’ipotenusa AB è M e la circonferenza di diametro CM interseca AC in P e CB in Q. Dimostra che PQ // AB
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punti
Livello 0
Dimostrazione.
ABC é rettangolo, per cui AM = MC ( la mediana relativa all'ipotenusa é congruente a metà
dell'ipotenusa stessa ). Il triangolo ACM é isoscele e quindi ACM^ = A^ = alfa.
Per la stessa ragione CM = MB => MCB^ = beta = 90° - alfa.
Ora CPM é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza, di cui CM é il diametro
per ipotesi. E lo stesso vale per CQM.
Per cui, per differenza, PMC = beta e CMQ = alfa.
Gli angoli PCQ^ e PMQ^ - essendo entrambi alfa + beta - sono retti
e quindi il quadrilatero inscritto CQMP, avendo tutti e quattro gli angoli retti, é un rettangolo.
Da ciò si deduce che CM incontra PQ nel centro K della circonferenza ( punto medio delle
diagonali ) e quindi anche che il triangolo PKC é isoscele, perché PK = KC in quanto
semidiagonali di un rettangolo che sono congruenti ...
Pertanto CPQ^ = PCM^ = alfa
e ne segue infine che gli angoli corrispondenti CPQ^ e CAB^ formati dalle rette PQ e AB
tagliate dalla trasversale AC sono congruenti ( entrambi alfa ) e quindi che tali rette
sono parallele : PQ // AB.
36913
punti
Livello 6