GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE: verifica sottospazio

Problema:

Provare che l'insieme $W=\{A \in M(3, \mathbb{R}: A +^tA=0\}$ è un sottospazio vettoriale di $M(3, \mathbb{R})$. Trovare una base e la dimensione di W.

Soluzione:

Per essere un sottospazio vettoriale W deve contenere lo zero, in questo caso è rappresentato dalla matrice reale $3 \times 3$ nulla, deve essere chiuso rispetto l'operazione somma e rispetto al prodotto per scalare.

Zero: La matrice nulla $0 \in {M}(3; \mathbb{R})$ soddisfa $ 0 + 0^T = 0 $, quindi $ 0 \in W $.

Somma: Se $A, B \in W $, allora $ A + A^T = 0 $ e $ B + B^T = 0 $, quindi $A + B \in W $.

Prodotto per scalare: Se $ A \in W $ e $ \lambda \in \mathbb{R} $, allora $(\lambda A) + (\lambda A)^T = \lambda A + \lambda A^T = \lambda (A + A^T) = \lambda \cdot 0 = 0$, quindi $\lambda A \in W$.

W è dunque un sottospazio di $M(3, \mathbb{R})$. 

Sia $A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\in {M}(3; \mathbb{R}).$

La condizione $A + A^T = 0 $ implica: $\begin{aligned}
a &= -a \Rightarrow a = 0 \\
e &= -e \Rightarrow e = 0 \\
i &= -i \Rightarrow i = 0 \\
d &= -b \Rightarrow d = -b \\
g &= -c \Rightarrow g = -c \\
h &= -f \Rightarrow h = -f
\end{aligned}$ 

(rivedi i conti)

Quindi ogni matrice in W ha la forma:

$A = \begin{bmatrix}
0 & a & b \\
-a & 0 & c \\
-b & -c & 0
\end{bmatrix}$ con $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Poichè la matrice presenta solamente tre parametri reali, il sottospazio ha dimensione 3, si noti che lo spazio di partenza aveva dimensione 9, dato che può essere scritta come combinazione lineare di tre matrici.   

Una base di W è la seguente: $(\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0
\end{bmatrix}.)$

Nota: L'esercizio può essere svolto anche passando dalla struttura di matrice a quella di vettore, per fare ciò si deve scegliere una base di ${M}(3; \mathbb{R})$ e riscrivere la matrice come combinazione lineare di opportuni vettori colonna, essi alla fine però andranno riconvertiti in forma matriciale seguendo la base scelta in partenza.