Geometria analitica parabola

Ciao

Metto a sistema:

{y = - 1/2·x^2 + 4·x + 8

{y = k

Quindi determino le intersezioni. Procedo con il confronto:

- 1/2·x^2 + 4·x + 8 = k

x^2 - 8·x - 16 + 2·k = 0

x^2 - 8·x + (2·k - 16) = 0

Procedo al calcolo delle due radici:

Δ/4 = 4^2 - (2·k - 16)--------> Δ/4 = 2·(16 - k)

attraverso la formula ridotta ottengo

x2 = 2 + √(2·(16 - k)) (radice algebricamente maggiore)

x1 = 2 - √(2·(16 - k)) (radice algebricamente minore)

----------------------------------

x2-x1=2 + √(2·(16 - k)) - (2 - √(2·(16 - k)))

x2-x1=2·√(2·(16 - k)) che proietto sull'asse delle x ( corrisponde alla base del quadrato)

Quindi scrivo:

2·√(2·(16 - k)) = k ---------> base =altezza

8·(16 - k) = k^2

128 - 8·k = k^2

k^2 + 8·k - 128 = 0

risolvo ed ottengo:

k = -16 ∨ k = 8

Siccome l'asse della parabola è x=4, deduco i 4 vertici del quadrato:

A(0,0); B(8,0); C(8,8); D(0,8)

 

"la parte di piano compresa fra la parabola ... e l'asse x" si chiama "segmento parabolico delimitato dall'asse x sulla parabola ..."
------------------------------
La parabola
* Γ ≡ y(x) = - x^2/2 + 4*x + 8 ≡
≡ y = - (1/2)*(x - 4*(1 - √2))*(x - 4*(1 + √2)) ≡
≡ y = 16 - (x - 4)^2/2
ha:
* asse di simmetria x = 4, parallelo all'asse y;
* apertura a = - 1/2 < 0, quindi concavità verso y < 0;
* vertice V(4, 16), nel primo quadrante;
* zeri (X1 = 4*(1 - √2) ~= - 1.66) e (X2 = 4*(1 + √2) ~= 9.66)
---------------
Per identificare il lato L, e la posizione, del quadrato richiesto si calcola
* y(4 - k) = y(4 + k) = 16 - k^2/2
e si cerca il valore di k per cui
* (L = 2*k = 16 - k^2/2) & (|k| < 4*√2) ≡ k = 4
quindi i vertici risultano
* A(0, 0), B(8, 0), C(8, 8), D(0, 8)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D16-%28x-4%29%5E2%2F2%2Cx*y*%28x-8%29*%28y-8%29%3D0%5D