[Risolto] Geometria analitica

L'angolo in F è retto (coefficienti angolari antireciproci delle rette che formano l'angolo). Teorema di Pitagora 

AB²=AF²+BF²

Il circocentro (centro della circonferenza circoscritta) è il punto medio dell'ipotenusa AB (=radice 17)

A(-1;-1)

B(3;0)

Circo= [(xA+xB)/2;(yA+yB)/2]= (1; - 1/2)

 

Il terzo vertice è sulla bisettrice y=x e ha coordinate:

F(3/2;3/2)

 

L'altezza relativa all'ipotenusa è 

H=|3/2 - 6 - 3|/radice (17) = (15/34)*radice (17)

Quindi:

Area = (15/34)*(17/2) = 15/4

y - x = 0 ed x + y - 3 = 0

sono fra loro perpendicolari in quanto soddisfano la condizione di perpendicolarità:

a*a'+b*b'=0----> 1·1 + (-1)·1 = 0

Il loro punto di incontro è individuato da C di figura:

{y - x = 0

{x + y - 3 = 0

[x = 3/2 ∧ y = 3/2]-----> C(3/2,3/2)

Analogamente si ottengono:

{y - x = 0

{x - 4·y - 3 = 0

[x = -1 ∧ y = -1]-----> A(-1,-1)

{x + y - 3 = 0

{x - 4·y - 3 = 0

[x = 3 ∧ y = 0]------> B(3,0)

Determino area triangolo:

[3, 0]

[-1, -1]

[3/2 ,3/2]

[3, 0]

Α = 1/2·ABS(3·(-1) + (-1)·3/2 + 3/2·0 - (3·3/2 + 3/2·(-1) + (-1)·0))

Α = 15/4

La posizione del circocentro è data dal punto medio di AB:

{x = (-1 + 3)/2

{y = (-1 + 0)/2

M(1,-1/2)

 

 

Se le tre rette hanno meno di tre intersezioni distinte {A, B, C} allora non formano triangolo.
Se invece i punti A, B, C esistono distinti allora perimetro e area sono come t'ho mostrato al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/130291/
Se le tre rette formano triangolo e se due di esse hanno pendenze antinverse (m' = - 1/m) allora il triangolo formato è rettangolo e ha per circumcentro il punto medio dell'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto.
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Pertanto la procedura risolutiva inizia dal calcolo delle intersezioni e delle pendenze
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* (y = x) & (y = (x - 3)/4) ≡ A(- 1, - 1)
* (y = 3 - x) & (y = (x - 3)/4) ≡ B(3, 0)
* (y = x) & (y = 3 - x) ≡ C(3/2, 3/2)
da cui
* {A, B, C} distinti → ABC è un triangolo non degenere
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* AB ≡ x - 4*y - 3 = 0 ≡ y = (x - 3)/4, di pendenza 1/4
* AC ≡ y - x = 0 ≡ y = x, di pendenza 1
* BC ≡ x + y - 3 = 0 ≡ y = 3 - x, di pendenza - 1
da cui
e 1 = - 1/(- 1) → ABC è rettangolo in C, con ipotenusa AB e circumcentro
* D = (A + B)/2 = ((- 1, - 1) + (3, 0))/2 = (1, - 1/2)
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Dal metodo esposto al link citato si ha
* area = 15/4