[Risolto] Ho un problema di geometria analitica e sto cercando diverse prospettive per risolverlo. Potreste darmi una mano?

"sto cercando diverse prospettive per risolverlo."
"non è un esercizio del libro, bensì uno fatto dal mio professore."
Il tuo professore l'ha scritto via via che lo stava pensando, perché il testo necessita di parecchia interpretazione (diverse prospettive?) prima d'essere considerato un normale esercizio di ricapitolazione che presenta una serie di consegne su un solo tema di fondo, in questo caso i punti A e B.
Il testo è pubblicato in due diverse versioni
* dattiloscritta: A(3, 2), B(- 4, 5); 1. Trova l'equazione dell'asse del segmento AB.
* fotografata: A(6, 2), B(9, 3); a) Trova l'equazione della retta del segmento AB.
E presenta cinque consegne (dattilo: 1, 2, 3, 4, 5; foto: a, b, c, d, e) due sole delle quali costituiscono un problema: la prima che, diversa nelle due versioni, chiede una retta (congiungente o asse) in funzione di A e B; la quarta che, identica nelle due versioni, chiede la distanza di un punto da una retta.
Per il resto, un casino!
La mia interpretazione delle consegne seconda e terza è: tracciare la retta t, parallela alla congiungente AB per il punto C, incrocio dell'asse di AB con la bisettrice dei quadranti dispari. Ma sarà poi così? Boh!
La quinta consegna chiede l'area del quadrilatero ABCD senza aver mai nominato il vertice D (un qualsiasi punto di t) e lo dichiara trapezio (quindi D non deve generare un poligono intrecciato).
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RICAPITOLAZIONE
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La retta r ≡ AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: r ≡ x = a
* per p = q: r ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): r ≡ y = k*x
* per a != b: r ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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La retta s, asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è il luogo di tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da A e B
* Per p = q: s ≡ x = (a + b)/2
* Per p ≠ q: s ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette:
* x = u, parallela all'asse y;
* r(k) ≡ y = v + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
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La distanza d del punto P(u, v) dalla retta t è
* per t ≡ x = k: d(u, v, k) = |u - k|
* per t ≡ y = k: d(u, v, k) = |v - k|
* per t ≡ y = m*x + q: d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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La distanza d fra due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: d = |p - q|
* per p = q: d = |a - b|
* per (a != b) & (p != q): d = √((a - b)^2 + (p - q)^2)
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L'area S del trapezio di basi (a, b) e altezza h è il prodotto dell'altezza per la media delle basi
* S = h*(a + b)/2
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SVOLGIMENTO (sulla mia interpretazione)
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Scelgo i punti A(6, 2), B(9, 3)
* r ≡ AB ≡ y = x/3
* s ≡ asse ≡ y = 25 - 3*x
nel grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C%28x-15%2F2%29%5E2%3D10-%28y-5%2F2%29%5E2%2Cy%3Dx%2F3%2Cy%3D25-3*x%5Dx%3D-2to12%2Cy%3D-2to12
A e B sono gli estremi del diametro sulla retta per l'origine.
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* (y = x) & (y = 25 - 3*x) ≡ C(25/4, 25/4)
* t ≡ y = 25/4 + (x - 25/4)/3 ≡ y = (2*x + 25)/6
* altezza di ABCD = h = |Cr| = 5*√10/4 ~= 3.95
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28x%2F3-y%29*%2825-3*x-y%29*%28x-y%29*%28%282*x--25%29%2F6-y%29%3D0%2C%28x-15%2F2%29%5E2%3D10-%28y-5%2F2%29%5E2%5Dx%3D-2to12%2Cy%3D-2to12
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Il punto D dev'essere su t, a sinistra di C: D(k, (2*k + 25)/6) con k < 25/4
* |AB| = √10
* |CD| = (√10/12)*(25 - 4*k)
* S = h*(a + b)/2 = (5*√10/4)*(√10 + (√10/12)*(25 - 4*k))/2 =
= (25/48)*(37 - 4*k)

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