[Risolto] GEOMETRIA

Vogliamo fare in modo che:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = 80 a^2$

Troviamo ognuno dei segmenti in funzione di x.

Troviamo subito che:

$AH = AB-BH = 4a -x$

Dato che ABP è un triangolo rettangolo, dato che è inscritto in una semicirconferenza, possiamo usare il I teorema di Euclide per trovare i cateti:

$ AP^2 = AB*AH = 4a(4a-x)$

$ BP^2 = AB*BH = 4ax$

Inoltre per il secondo teorema di Euclide:

$PH = \sqrt{AH*HB} = \sqrt{(4a-x)x}$

Ora considera il triangolo rettangolo PEC (vedi figura), in cui $PE=4a+\sqrt{(4a-x)x}$ e $EC=x$. Quindi per Pitagora:

$ PC^2 = PE^2 + EC^2 = (4a+\sqrt{(4a-x)x})^2 + x^2 = 16a^2 + (4a-x)x + 8a\sqrt{(4a-x)x} + x^2$

Mettendo insieme i vari risultati otteniamo:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = 80 a^2$

$ 4a(4a-x) + 4ax + 16a^2 + (4a-x)x + 8a\sqrt{(4a-x)x} + x^2 = 80a^2$

$16a^2-4ax+4ax+16a^2+4ax-x^2+8a\sqrt{4ax-x^2}+x^2=80a^2$

$ 8a\sqrt{4ax-x^2} = 48a^2 -4ax$

Dividendo per 4a:

$ 2\sqrt{4ax-x^2} = 12a -x$

Elevando:

$ 4(4ax-x^2) = (12a-x)^2$

$ 16ax-4x^2 = 144a^2 -24ax + x^2$

Da cui

$ 5x^2 -40 ax + 144a^2 = 0$

L'equazione purtroppo è impossibile. La traccia è corretta?

Il problema sembrerebbe che sia stato già risolto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/matematica-problemi-con-equazioni-irrazionali/