Su $P R$ e $R Q$, lati obliqui di un triangolo isoscele $P Q R$, disegna i triangoli equilateri $P R S$ e $R Q T$. Dimostra che:
a. $P T \cong S Q$;
b. $P \widehat{R} Z \cong Z \widehat{R} Q$, dove $Z$ è il punto di intersezione tra $P T$ e $S Q$.
Su $P R$ e $R Q$, lati obliqui di un triangolo isoscele $P Q R$, disegna i triangoli equilateri $P R S$ e $R Q T$. Dimostra che:
a. $P T \cong S Q$;
b. $P \widehat{R} Z \cong Z \widehat{R} Q$, dove $Z$ è il punto di intersezione tra $P T$ e $S Q$.
I triangoli PQT e PSQ sono congruenti poiché hanno un lato in comune, la base PQ del triangolo isoscele, un lato congruente per costruzione PS=QT = PR =RQ e l'angolo in P=Q poiché entrambi somma di un angolo di ampiezza 60 gradi (angolo triangolo equilatero) e di un angolo alla base del triangolo isoscele RPQ.
Essendo i triangoli congruenti (due lati e l'angolo compreso) hanno ordinatamente congruenti i lati corrispondenti, in particolare SQ=PT
Pto 2)
Avendo dimostrato che i triangoli PSQ e PTQ sono congruenti possiamo dire che l'angolo TPQ = SQP. Quindi il triangolo ZPQ è anche lui isoscele sulla base PQ.. Il pto Z appartiene all'altezza RH, relativa alla base del triangolo isoscele RPQ.
Sappiamo che l'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è anche bisettrice dell'angolo (in questo caso R).
Possiamo quindi scrivere che l'angolo PRZ = ZRQ