[Risolto] Funzioni goniometriche

"i passaggi per risolvere questo esercizio", e tutti gli altri dello stesso tipo, consistono nell'applicare opportunamente alcune informazioni da ritenere a memoria.
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Memoria 1) Tutte le funzioni goniometriche dell'arco x che non siano seno e coseno si definiscono in termini di queste due, che non sono nemmeno indipendenti perché legate dalla cosiddetta "identità fondamentale"
* sin^2(x) + cos^2(x) = 1
che esprime il Teorema di Pitagora per il triangolo {seno S, coseno C, raggio R unitario} rettangolo sulla circonferenza goniometrica Γ.
Puoi ripassare le definizioni al link
http://www.edutecnica.it/matematica/trigono/trigonometria.htm
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Memoria 2) Secondo in quale quadrante di Γ si tracci il triangolo SCR variano i segni di seno e coseno.
* Nel primo quadrante si ha: seno positivo, coseno positivo.
* Nel secondo quadrante si ha: seno positivo, coseno negativo.
* Nel terzo quadrante si ha: seno negativo, coseno negativo.
* Nel quarto quadrante si ha: seno negativo, coseno positivo.
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Memoria 3) Stante la relazione fra i cateti seno e coseno e l'ipotenusa raggio, per cui
* seno e coseno sono rapporti cateto/ipotenusa
* tangente e cotangente sono rapporti cateto/cateto
può essere d'aiuto saper rammentare almeno le più piccole terne pitagoriche
* (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), ...
e saperne riconoscere i multipli a colpo d'occhio.
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QUESTI ESERCIZI
Sia in 123 che in 124 si tratta della terna pitagorica (3, 4, 5).
Se una dell funzioni sin(α) o cos(α) hanno un valore di "± 3/5" o "± 4/5" l'altra funzione ha l'altro valore, ma i segni dipendono dal quadrante (v. Memoria 2).
Nella foto i quadranti sono dati dalle limitazioni sull'argomento
* 0 < α < π/2 ≡ primo quadrante.
* π < α < 3*π/2 ≡ terzo quadrante.
* - π < α < - π/2 ≡ terzo quadrante.
QUINDI
* (sin(α) = 4/5) & (0 < α < π/2) → (cos(α) = 3/5) & (tg(α) = 4/3)
* (sin(α) = - 3/5) & (π < α < 3*π/2) → (cos(α) = - 4/5) & (tg(α) = 3/4)
* (sin(α) = - 3/5) & (- π < α < - π/2) → (cos(α) = - 4/5) & (tg(α) = 3/4)

E’ giusto il tuo risultato.

Angolo del terzo quadrante: coseno negativo e tangente positiva.

coseno=- sqrt(1-9/25)=-4/5

tangente= seno/coseno=(-3/5)*(-5/4)=3/4

la domanda seguente si riferisce sempre ad un angolo riportabile al terzo quadrante quindi non cambia il risultato.

mentre seno e coseno sono funzioni periodiche con periodo pari a 2pi, la tangente è periodica di periodo pi.

Questo significa che sapere che la tangente è positiva {1° e 3° quadr.} , o negativa {2° e 4° quadr.} definisce l'arco a meno di pi  ...

ad es arctan1 corrisponde  sia all'angolo di 45° {1° quadr.} che all'angolodi 45+ 180 = 225° {3° quadr.   ---> si può anche dire 45 -180 = -135°} 

... pertanto nell'es 124 il seno è -3/5 e alfa appartiene al 3° quadr., questo implica che sono negativi sia seno che coseno {-0.8 = - 4/5} ; quindi la tangente è tanalfa = senalfa/cosalfa =(-3/5)/(-4/5) = 3/4 {la stessa tangete dell'angolo del primo quadrante che si ottiene da alfa aggiungendo o sottraendo pi o un numero dispari di pi}

e nulla cambia se gli estremi del 3° quadrante  li otteniamo dai precedenti (pi,3pi/2) sottraendo ( o aggiungendo) 2pi {o un numero intero di 2pi} --->(pi -2pi,3pi/2-2pi) ---> (-pi,-pi/2)