[Risolto] Funzioni e le loro proprietà

Sono troppo agitato (lo so che aiuta l'attecchimento delle metastasi, grazie!) per andare a dormire (è più dell'una e domattina ho un controllo semestrale: la mia fedele "LaserJet P1005" è uscita pazza e si rifiuta di stampare le due paginette delle "Terapie in atto al 27 settembre 2021" e non mi fido della mia memoria).
Ho visto l'orribile clausola "Voterò positivamente chiunque si cimenterà." in ben tre domande successive: la detesto, ma che ci posso fare se rispondere mi rilassa?
RISPONDERO'
raggruppando le tre domande perché pongono lo stesso problema
* «Studiare il segno di una funzione fratta
* y = f(x) = N(x)/D(x)
nel suo dominio e trovare le eventuali intersezioni con gli assi del suo grafico.
Poi rappresentare il grafico nel piano cartesiano e infine delimitare le zone in cui esso si sviluppa.»
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Le tre funzioni sono
279) y = (x - 4)/(x*(1 - x)^2)
280) y = (2 - |x|)/√(x - 1)
287) y = 2^x/(2^x - 2)
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OSSERVAZIONI E FASI RISOLUTIVE (i dettagli te li curi da te)
1) Se la variabile indipendente x è reale tutt'e tre hanno dominio R.
2) 279 e 287 hanno anche codominio R, ma 280 ha codominio C.
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3) In quanto funzioni fratte di variabile reale hanno insieme di definizione
* E = R\{zeri del denominatore}
cioè
* 279: R\{0, 1}; 280: R\{1}; 287: R\{1}.
4) 279 e 287 hanno anche insieme di definizione reale Er = E, ma 280 ha Er = x > 1 per escludere i valori immaginarii di y.
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5) Lo studio del segno è limitato all'insieme Er, negl'intervalli con estremi gli zeri e i punti di frontiera.
6) Gli zeri (intersezioni con l'asse x) sono quelli del numeratore se e solo se il denominatore è non nullo
* 279: x = 4; 280: x in {- 2, 2}; 287: nessuno, le esponenziali non ne hanno.
7) Le intersezioni con l'asse y sono i valori f(0), se zero è in Er
* 279: nessuno, zero fuori E; 280: nessuno, zero fuori Er; 287: y = - 1.
8) Gl'intervalli risultano come segue.
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8a) 279: y = (x - 4)/(x*(1 - x)^2)
* per x < 0, y > 0; zona = secondo quadrante.
* per 0 < x < 1, y <= f(3 - √7) = - (14*√7 + 37)/3; zona = semistriscia inferiore.
* per 1 < x < 2, y < 0; zona = semistriscia.
* per x > 2, 0 < y <= f(3 + √7) = (14*√7 - 37)/3; zona = semistriscia.
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8b) 280: y = (2 - |x|)/√(x - 1)
* per x <= 1, y immaginaria o indefinita.
* per 1 < x < 2, y > 0; zona = semistriscia.
* per x > 2, y < 0; zona = il subquadrante del quarto: (x > 2) & (y < 0).
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8c) 287: y = 2^x/(2^x - 2)
* per x < 1, y < 0; zona = il quadrante (x < 1) & (y < 0).
* per x > 1, y > 1; zona = il quadrante (x > 1) & (y > 1).

il denom. è nullo per x=0 e per x=1 (due volte ... due zeri uno sull'altro) e la y=0 per x = 4  ...

quindi dominio (domain) 

{x element R : x!=0 and {intersezione , moltiplicazione logica , e} x!=1}

per x > 4    {num >0 e denom >0 } la    y > 0

per x <0  {num <0  e denom < 0}  la    y > 0

quindi y >0 se x >4 oppure {or , unione} x<0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+%28x-4%29+%2F%28x%281-x%29%5E2%29