[Risolto] Funzioni e asintoti

Determiniamo a,b,c

Come giustamente hai detto: asintoti verticali: x=-2; x=0; x=3. (dalla figura)

Definisci ora il C.E. : -2 < x < 0 v 3 < x < +∞

Quindi devi determinare le condizioni agli estremi del C.E. osservando la figura:

LIM(LN((x^2 + a·x + b)/(x + c)))= +∞

x---> -2+

Quindi: 

LIM(LN((2·a - b - 4)/(2 - c))) = +∞

x---> -2+

Poi

LIM(LN((x^2 + a·x + b)/(x + c)) = -∞

x----> 0-

Quindi:

LIM(LN(b/c)) = -∞

x----> 0-

Poi

LIM(LN((x^2 + a·x + b)/(x + c)))= -∞

x--->3+

Quindi:

LIM(LN((3·a + b + 9)/(c + 3))) = -∞

x--->3+

Altra condizione che però è superflua è:

LIM(LN((x^2 + a·x + b)/(x + c))= +∞

x----> +∞

(in quanto dipende solo dai termini di grado max presenti al numeratore ed al denominatore della frazione)

Il primo limite in grassetto è verificato solo se c =2

Il secondo limite in grassetto è verificato solo se b=0

Quindi:

LIM(LN((3·a + b + 9)/5)) = -∞

x--->3+

cioè

LIM(LN((3·a + 0 + 9)/5)) = -∞

x--->3+

deve essere poi: 3·a + 9 = 0----> a = -3

La funzione è: y = LN((x^2 - 3·x)/(x + 2))

Per quanto riguarda il segno:

LN((x^2 - 3·x)/(x + 2)) > 0 se -2 < x < 2 - √6 ∨ x > √6 + 2

LN((x^2 - 3·x)/(x + 2)) < 0 se 3 < x < √6 + 2 ∨ 2 - √6 < x < 0

LN((x^2 - 3·x)/(x + 2)) = 0 se x = 2 - √6 ∨ x = √6 + 2

(x = 4.449489742 ∨ x = -0.4494897427)