a. Determina per quale valore di $a$ la funzione
$$
f(x)=\ln \left|\frac{a x^2-1}{x-1}\right|
$$
ha una singolarità di seconda specie in
$$
x=\frac{1}{2} \text {. }
$$
Classifica le altre singolarità della funzione per il valore di $a$ trovato.
b. Se $a=1$, che singolarità presenta $f(x)$ ?
[a) $a=4, x=-\frac{1}{2}, x=1$ : II specie;
b) $x=-1$ : II specie, $x=1$ : eliminabile $]$
14
punti
Livello 0
$f(x) = \ln \left ( \left | \dfrac{ax^2-1}{x-1}\right |\right )$
Per avere un punto di singolarità di seconda specie deve essere che
$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \; f(x) = \ln \left( \left | \dfrac{a\frac{1}{4}-1}{\frac{1}{2}-1}\right |\right) = \ln \left( \left | - \dfrac{a-4}{2}\right |\right) = +\infty $ o $-\infty$
Il logaritmo assume un valore tendente a meno infinito quando l'argomento tende a zero. In questo caso quando a $\to$ 4. La funzione tende ad un valore + infinito quando l'argomento tende ad infinito, quindi solo quando x=1 e per ogni valore di a.
Per a =4
$f(x) = \ln \left( \left | \dfrac{4x^2-1}{x-1}\right |\right)$. $C.e. x \neq 1$
$\lim_{x \to 1^{\pm}} \;f(x) = + \infty$ Singolarità seconda specie.
Per a =1
$f(x) = \ln \left( \left | \dfrac{x^2-1}{x-1}\right | \right) = \ln ( | x+1 |) $ C.e. $x \neq \pm 1 $
$\lim_{x \to 1^{\pm}} \;f(x) = 2$ Singolarità eliminabile.
$\lim_{x \to -1^{+}} \;f(x) = + \infty$ Singolarità seconda specie.
2837
punti
Livello 5
