Funzioni continue

Question

Considera la funzione f(x)= frac {x^2+4 k}{x^2+k x-2}.a. Determina il valore da assegnare a k affinché la funzione presenti un punto singolare di seconda specie per x=1$. b. Determina il valore da assegnare a k affinché la funzione presenti un punto singolare per x=2$. In corrispondenza di questo valore di k, classifica la singolarità e disegna il grafico della funzione ottenuta. singolarità eliminabile; il grafico in tal caso è quello dell'iperbole y= frac {x+2}{x+1} privato del punto di ascissa x=$ Considera la funzione f(x)= frac {x^2+4 x-5}{x^2-k^2}.a. Determina i valori da assegnare a k affinché la funzione presenti un punto singolare di seconda specie per x=3$. b. Determina i valori da assegnare a k affinché la funzione presenti almeno un punto di singolarità eliminabile. Disegna i grafici delle funzioni cosi ottenute.  quad [ a . k=+/- 3$; b. k=+/- 1  vee k=+/- 5$; i grafici sono iperboli private di un punto] Ho bisogno di aiuto nella risoluzione di questi due esercizi  [attach]31972[/attach]

LucianoP · Accepted Answer

Se mi ricordo risponderò domani mattina. Buonanotte.

Buongiorno.

y = (x^2 + 4·k)/(x^2 + k·x - 2)

per la funzione in esame di sopra, il denominatore è possibile scomporlo in:

(x - α)·(x - β)

quindi se si vuole avere una discontinuità di seconda specie , cioè un salto infinito della funzione in x=1 una delle radici deve essere =1:

α = 1----> (x - 1)·(x - β)----> x^2 - x·(β + 1) + β

per confronto quindi si deve avere:

{- (β + 1) = k

{β = -2

quindi: [k = 1 ∧ β = -2]

La funzione diventa: y = (x^2 + 4)/(x^2 + x - 2)

Per l'altro punto la funzione deve essere semplificabile nel suo rapporto

Quindi si fa la divisione:

(x^2 + 4·k)/(x^2 + k·x - 2)

che porta ad un quoziente e ad un resto:

{Q = 1

{R = - k·x + 4·k + 2

posto R=0-----> - k·x + 4·k + 2 = 0 per x=2: - k·2 + 4·k + 2 = 0

2·k + 2 = 0-----> k = -1

si ha per la funzione in esame:

y = (x^2 + 4·(-1))/(x^2 + (-1)·x - 2)-----> y = (x + 2)·(x - 2)/((x + 1)·(x - 2))

semplificabile in: y = (x + 2)/(x + 1) con la posizione : x ≠ 2

Quindi la funzione data ha una discontinuità di terza specie in

x=2----> y = (2 + 2)/(2 + 1)----> y = 4/3 ----> [2, 4/3]

equivale ad una funzione omografica privata del punto detto:

LucianoP

(@lucianop)

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13/12/2022 00:14

exProf · Answer

142) La funzione razionale fratta della variabile reale x e del parametro reale k
* f(x, k) = y = (x^2 + 4*k)/(x^2 + k*x - 2) ≡
≡ y = (x^2 + 4*k)/((x - (- k - √(k^2 + 8))/2)*(x - (- k + √(k^2 + 8))/2))
è definita ed ha valori reali per ogni x diverso dagli zeri del denominatore
* X1 = (- k - √(k^2 + 8))/2
* X2 = (- k + √(k^2 + 8))/2
là dove il grafico nel piano Oxy ha due asintoti verticali con flesso all'infinito
lim_(x → X1-) f(x, k) = + ∞
lim_(x → X1+) f(x, k) = - ∞
lim_(x → X2-) f(x, k) = - ∞
lim_(x → X2+) f(x, k) = + ∞
---------------
* X1 = (- k - √(k^2 + 8))/2 = 1 ≡ impossibile
* X2 = (- k + √(k^2 + 8))/2 = 1 ≡ k = 1
---------------
* X1 = (- k - √(k^2 + 8))/2 = 2 ≡ impossibile
* X2 = (- k + √(k^2 + 8))/2 = 2 ≡ k = - 1
---------------
* f(x, - 1) = y = (x^2 - 4)/(x^2 - x - 2)
* lim_(x → 2) (x^2 - 4)/(x^2 - x - 2) = 4/3
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2-x-2%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-2%29*%28y-4%2F3%29%3D0%2Cy%3D%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2-x-2%29%5Dx%3D1to3%2Cy%3D1to2

exProf

(@exprof)

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13/12/2022 09:50

[Risolto] Funzioni continue

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