Date la circonferenza di equazione x^2+ y^2= 9 e l'ellisse di equazione 4x^2+ 9y^2-36 = 0, considera sulla circonferenza i punti P e P' e sull'ellisse i punti Q e Q' aventi la stessa ascissa k, con -3 < k < 3 e k diverso 0. Verifica che le
tangenti alle due curve in P, P', Qe Q' si intersecano nello stesso punto e determinane le coordinate.
25
punti
Livello 0
I due luoghi geometrici sono ognuno doppiamente simmetrici rispetto agli assi cartesiani: sarà quindi sufficiente esaminare se per i punti P e Q appartenenti al 1° quadrante le due tangenti relative si incontrano in uno stesso punto che, per la simmetria del problema, dovrà stare sull'asse delle x (cioè y=0).
x^2 + y^2 = 9 per x=k>0 : y = √(9 - k^2)>0
4·x^2 + 9·y^2 - 36 = 0 per x=k>0 : y = 2·√(9 - k^2)/3 >0
Determiniamo le due tangenti:
x^2 + y^2 = 9 in [k,√(9 - k^2)]
Formule di sdoppiamento:
k·x + √(9 - k^2)·y = 9
poi:
4·x^2 + 9·y^2 - 36 = 0 in [k,2·√(9 - k^2)/3]
Formule di sdoppiamento:
4·k·x + 9·2·√(9 - k^2)/3·y - 36 = 0-----> 2·k·x + 3·y·√(9 - k^2) - 18 = 0
Si tratta quindi di mettere a sistema le due rette trovate e vedere il punto di intersezione.
{k·x + √(9 - k^2)·y = 9
{2·k·x + 3·y·√(9 - k^2) - 18 = 0
Tale sistema fornisce soluzione: [x = 9/k ∧ y = 0]
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Genius II
