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[Risolto] Funzione matematica

  

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f(x)=x(x+1)(x-2)

mi servirebbero tutti i passaggi ed una spiegazione 

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y = x·(x + 1)·(x - 2)

è una cubica equivale a scrivere: y = x^3 - x^2 - 2·x

definita e continua con tutte le sue derivate in R: ]-inf;+inf[

Non ha alcuna particolarità (non è pari e né dispari)

Interseca gli assi:

Delle x in    x = 2 ∨ x = -1 ∨ x = 0

passa quindi per (0,0) 

Segno della funzione:

x·(x + 1)·(x - 2) ≥ 0------> -1 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2

y>0 se -1<x<0  ∨ x > 2

y<0 se x<1  ∨   1 <x< 2

y=0 come sopra

--------------------------

Calcolo derivate:

y'= 3·x^2 - 2·x - 2

y''=6·x - 2

---------------------

studio crescenza e decrescenza:

3·x^2 - 2·x - 2 ≥ 0-------> x ≤ 1/3 - √7/3 ∨ x ≥ √7/3 + 1/3

y'>0 se  x < 1/3 - √7/3  ∨  x > √7/3 + 1/3

y'<0 se 1/3 - √7/3 < x < √7/3 + 1/3

y'=0 se x = 1/3 - √7/3 ∨ x = √7/3 + 1/3

max rel in x = 1/3 - √7/3

min rel in x = √7/3 + 1/3

Non ha max né min assoluti

--------------------------

Studio concavità e convessità:

6·x - 2 ≥ 0---->x ≥ 1/3

Flesso in corrispondenza di x=1/3

concavità verso l'alto per x>1/3

concavità verso il basso per x<1/3

--------------------------------

Grafico:

image




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Che cosa vuoi farci con questa?

f(x) = x *(x^2 - 2x + x - 2);

f(x) = x^3 - x^2 - 2x.

E' una cubica!

Devi fare lo studio e il grafico?

E' facile, è continua su tutto R;

passa per l'origine (0,0); per (-1, 0); per 2; 0)

si annulla in x = 0; x = -1, x = 2;

fai i limiti, fai le derivate.

f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2);

f' positiva funzione crescente;

f' negativa funzione decrescente.

f''(x) = 6x - 2 = 2(3x - 1)

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Per la funzione polinomiale
* f(x) = y = (x + 1)*x*(x - 2)
il passaggio più complicato è già fatto: la scomposizione in fattori lineari.
Poi si fa il passaggio semplice delle due prime derivazioni e si ha tutto l'occorrente per elencare le proprietà caratteristiche di f(x).
La pendenza è
* dy/dx = m(x) = 3*x^2 - 2*x - 2
* dm/dx = y'' = 6*(x - 1/3)
------------------------------
Come ogni polinomio:
* è definita e continua ovunque con le sue derivate (costante quella d'ordine eguale al grado, tre; nulle le successive.);
* è priva d'asintoti;
* diverge all'infinito concordemente alla variabile (perché il coefficiente direttore è positivo),
---------------
INTERCETTA: f(0) = 0
ZERI: f(- 1) = 0; f(0) = 0; f(2) = 0
ASCISSE ESTREMANTI: (y' = 0) & (y'' != 0) ≡
≡ (3*x^2 - 2*x - 2 = 0) & (6*(x - 1/3) != 0) ≡
≡ (X1 = (1 - √7)/3) & (X3 = (1 + √7)/3)
ASCISSE DI FLESSO: y'' != 0 ≡ 6*(x - 1/3) = 0 ≡ X2 = 1/3
PUNTI ESTREMI: f(X1) = - 20/27 + 14*√7/27; f(X3) = - 20/27 - 14*√7/27
--------
Massimo relativo: M1((1 - √7)/3, - 20/27 + 14*√7/27)
--------
Punto di flesso: y = f(1/3) = - 20/27 ≡ M2(1/3, - 20/27)
--------
Minimo relativo: M3((1 + √7)/3, - 20/27 - 14*√7/27)
---------------
La simmetria degli estremi rispetto al flesso mostra che la traslazione "O → M2" dà luogo alla cubica dispari
* y = x*(x^2 - 7/3)
quindi la f(x) data non è né pari né dispari.






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