Funzione

a. $ y(x) = \sqrt{2(1+x^2)} $

• Dominio = ℝ
  • il radicando è positivo per ogni x reale.
  • la funzione è continua laddove definita essendo composizione, somma, etc. di funzioni elementari continue

• Simmetria
  • La funzione è pari, ovvero simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. f(-x)=f(x)

• Segno f(x)
  • La funzione è positiva in tutto il Dominio

• Limiti alla frontiera
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

possiamo così affermare che:

i) per Weirestrass generalizzato deve esistere almeno un minimo assoluto

ii) non esiste il massimo assoluto visto che il sup f(x) = +∞

b. $ y'(x) = \frac{\sqrt{2} \; x}{\sqrt{1+x^2} }$

La derivata prima è definita in tutto ℝ.

• Studiamo il segno della derivata prima

1. Se x < 0 allora y'(x) < 0 ⇒ y(x) è monotona strettamente decrescente in (-∞, 0)
2. Se x = 0 allora si ha un punto stazionario
3. Se x > 0 allora y'(x) > 0 ⇒ y(x) è monotona strettamente crescente in (0, +∞)

dal quale si deduce che x = 0 è un punto di minimo relativo  (prima scende poi sale)

c. $ y' '(x) = \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{(1+x^2)^3} }$

• La derivata seconda è positiva per ogni x reale quindi y(x) è una funzione convessa
• La derivata seconda è positiva per x = 0 e questo conferma il minimo relativo / assoluto.

Grafico. https://www.desmos.com/calculator/n3kzrkfsrx