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[Risolto] Flusso di un campo vettoriale  

  

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\[
\operatorname{Sia} \Sigma=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}=3-2 z, z \geq x\right\}
\]
Dopo averne scelto un'orientazione, calcolare il flusso del rotore di
\[
F(x, y, z)=(-y, z, x)
\]
attraverso $\Sigma$

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1 Risposta
4

Calcoliamo il rotore del campo vettoriale
\[
\operatorname{rot}(F)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{d}{d x} & \frac{d}{d y} & \frac{d}{d z} \\
-y & z & x
\end{array}\right]=(-1,-1,1)
\]
Ora parametrizziamo il paraboloide come
\[
\phi(u, v)=\left(u, v, \frac{3-u^{2}-v^{2}}{2}\right)
\]
Procediamo con le derivate parziali
\[
\phi_{u}^{\prime}(u, v)=(1,0,-u) \quad \phi_{v}^{\prime}(u, v)=(0,1,-v)
\]
Il prodotto vettoriale risulta essere
\[
\phi_{u}^{\prime}(u, v) \times \phi_{v}^{\prime}(u, v)=(u, v, 1)
\]
Infine, utilizzando l'orientazione positiva, il dominio è dato dalla condizione
\[
\left\{\begin{array}{l}
z \geq x \\
x^{2}+y^{2}=3-2 z
\end{array}\right.
\]
ovvero usando la parametrizzazione $\phi(u, v)$ si ottiene:
\[
z \geq x \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(3-u^{2}-v^{2}\right) \geq u \Leftrightarrow(u+1)^{2}+v^{2} \leq 4
\]
quindi possiamo impostare l'integrale doppio
\[
\int_{\Sigma} \operatorname{rot}(\mathrm{F}) \cdot \hat{n} d S=\iint_{(u+1)^{2}+v^{2} \leq 4}(-1,-1,1) \cdot(u, v, 1) d u d v=\iint_{(u+1)^{2}+v^{2} \leq 4}(-u-v+1) d u d v
\]
applichiamo le coordinate polari
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=-1+\rho \cos \theta \\
v=\rho \sin \theta
\end{array} \quad \rho \in[0,2] \theta \in[0,2 \pi]\right.
\]

dove
\[
d u d v=\rho d \rho d \theta
\]
l'integrale così diventa
\[
\iint_{(u+1)^{2}+v^{2} \leq 4}(-u-v+1) d u d v=\int_{0}^{2} \rho d \rho \int_{0}^{2 \pi}(1-\rho \cos \theta-\rho \sin \theta+1) d \theta
\]
si ricorda che
\[
\int_{0}^{2 \pi} \sin \theta d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \cos \theta d \theta=0
\]
quindi
\[
\iint_{(u+1)^{2}+v^{2} \leq 4}(-u-v+1) d u d v=\int_{0}^{2} \rho d \rho \int_{0}^{2 \pi}(1-\rho \cos \theta-\rho \sin \theta+1) d \theta=\int_{0}^{2} \rho d \rho \int_{0}^{2 \pi} 2 d \theta=2 \cdot 2 \pi \cdot \frac{4}{2}=8 \pi
\]
Si conclude che:
\[
\int_{\Sigma} \operatorname{rot}(\mathrm{F}) \cdot \hat{n} d \sigma=8 \pi
\]

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