[Risolto] FLESSI E MINIMI E MASSIMI

@futuro-ingegnere-forse

Ormai sarai già ingegnere!

Il soggetto del discorso è sempre la funzione f(x) che è una cubica!

y = - 4·x^3 + 9·x^2

y' = 18·x - 12·x^2

y'' = 18 - 24·x

La funzione cresce per:

18·x - 12·x^2 > 0------>  0 < x < 3/2

decresce per:

18·x - 12·x^2 < 0-------> x < 0 ∨ x > 3/2

ha punti di stazionarietà in:

18·x - 12·x^2 = 0-------> x = 3/2 ∨ x = 0

Per x=3/2 si ha:

y = - 4·(3/2)^3 + 9·(3/2)^2------>y = 27/4  che è max rel per f(x)

Per x=0: y = - 4·0^3 + 9·0^2------->y = 0 che è min rel per f(x)

Poi studio della concavità (convessità)

18 - 24·x > 0------>x < 3/4 concavità verso l'alto

18 - 24·x < 0------> x > 3/4 concavità verso il basso

18 - 24·x = 0------>x = 3/4 flesso

y = - 4·(3/4)^3 + 9·(3/4)^2------>y = 27/8 ordinata del punto di flesso

Ti serve il valore della funzione in quel punto. Non il coefficiente angolare della tangente.

Postato da: @futuro-ingegnere-forse

y=-4x^3+9x^2

@futuro-ingegnere-forse ciao

$y=-4x^3+9x^2$

è già la derivata prima?

allora manca l'apice su y'...

Hai trovato gli zeri della derivata prima ?

Si eccoli:

$x=0$ e $x=3/2$

Hai studiato il segno della derivata prima ?

$y'\geq0$ se $x\leq 3/2$

$y'\leq$  se $x\geq 3/2$

x=0 punto di flesso  a tangente orizzontale  perchè la derivata prima è positiva prima e dopo lo zero; x=3/2 punto di massimo.

Deduco che qualcosa non va nei tuoi calcoli !!

Ora per trovare le rispettive ordinate, devi sostituire nell'espressione della funzione

$y=f(o)$

$y=f(3/2)$

Qual è l'espressione di y=f(x) ?

A) Le funzioni y' e y'' sono pendenza e curvatura del grafico di y: l'ordinata è y medesima, sono tre cose differenti fra loro.
Nella frase
* «Per trovare la coordinata y di un punto non ho capito se devo sostituire nella y o nella y' o nella y''?»
prova le seguenti sostituzioni
* amica → coordinata
* Bice → y
* Carla → y'
* Dina → y''
* tuo fratello → un punto
* cercare → sostituire
* → nella
cioè
* «Per trovare l'amica Bice di tuo fratello non ho capito se devo cercare Bice o Carla o Dina?»
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B) Dalla funzione d'esempio e le sue prime due derivate
* f(x) = - 4*x^3 + 9*x^2 = (9 - 4*x)*x^2
* f'(x) = 6*(3 - 2*x)*x
* f''(x) = 6*(3 - 4*x)
si ha
* f'(x) = 6*(3 - 2*x)*x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 3/2)
* f''(x) = 6*(3 - 4*x) = 0 ≡ x = 3/4
da cui si calcolano, per le ascisse notevoli {0, 3/4, 3/2},
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B1) le ordinate
* f(0) = (9 - 4*0)*0^2 = 0
* f(3/4) = (9 - 4*3/4)*(3/4)^2 = 27/8
* f(3/2) = (9 - 4*3/2)*(3/2)^2 = 27/4
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B2) la pendenza della tangente di flesso e la tangente "t" in F(3/4, 27/8)
* f'(3/4) = 6*(3 - 2*3/4)*3/4 = 27/4
* t ≡ y = 27/8 + (27/4)*(x - 3/4) ≡ y = (27/16)*(4*x - 1)
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B3) le concavità nelle ascisse estremanti
* f''(0) = 6*(3 - 4*0) = 18 > 0
* f''(3/2) = 6*(3 - 4*3/2) = - 18 < 0
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B4) CONCLUSIONI
* nel punto O(0, 0) si ha (f'(0) = 0) & (f''(0) > 0), quindi è un minimo.
* nel punto M(3/2, 27/4) si ha (f'(3/2) = 0) & (f''(3/2) < 0), quindi è un massimo.
* nel punto F(3/4, 27/8) si ha (f'(3/4) = 27/4) & (f''(3/4) = 0), quindi è un flesso con tangente
* t ≡ y = (27/16)*(4*x - 1)
non orizzontale.
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B5) Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%289-4*x%29*x%5E2%2Cy*%28-y%2B27%2F4%29*%28-y%2B%2827%2F16%29*%284*x-1%29%29%3D0%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to7