[Risolto] Fascio di parabole/ parabole

Dopo quattro mesi ancora pubblichi domande così! Ma lèggilo sto povero Regolamento, no?
------------------------------
PRIMO PROBLEMA
Ogni parabola Γ con asse parallelo all'asse y, apertura "a != 0" e vertice V(w, h) ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
se la concavità è rivolta verso y < 0, l'apertura è negativa: a < 0.
La distanza focale f, fra vertice V e fuoco F (e, simmetricamente, fra vertice V e direttrice d) è
* |VF| = |Vd| = f = 1/(4*|a|)
Le intersezioni con l'asse x sono gli zeri del secondo membro
* h + a*(x - w)^2 = 0 ≡ x = w ± √(- h/a) →
→ Z1(w - √(- h/a), 0) oppure Z2(w + √(- h/a), 0)
distanti fra loro
* ΔZ = 2*√(- h/a)
quindi l'area S del triangolo vertice-zeri è
* S = h*ΔZ/2 = h*√(- h/a)
---------------
"Non so come trovare la terza equazione del sistema per calcolare l’equazione della parabola (-b/2a=2; -D/4a)."
Non so cosa dirti. Tu supponi che le prime due io te le debba leggere nella mente?
---------------
"Inoltre non ho una minima di idea di come calcolare l’altezza del triangolo per trovare Area"
L'altezza non si calcola, è un dato: l'ordinata del vertice.
---------------
RISOLUZIONE
Con i dati
* V(2, 3)
* a < 0
* f = 1/12
si ha
* (f = 1/(4*|a|) = 1/12) & (a < 0) ≡ a = - 3
* ΔZ = 2*√(- h/a) = 2*√(- 3/(- 3)) = 2
* Γ ≡ y = 3 - 3*(x - 2)^2 ≡
≡ y = - 3*(x^2 - 4*x + 3) ≡
≡ y = - 3*(x - 1)*(x - 3)
* S = h*ΔZ/2 = 3*2/2 = 3
------------------------------
UN ALTRO PROBLEMA (senz'apostrofo: è maschile!)
L'equazione del fascio (col fattore "x" nel secondo termine!)
* Γ(k) ≡ y = (3*k - 2)*x^2 + 2*(3 - 5*k)*x + (16*k - 7) ≡
≡ y = 3*(k - 2/3)*x^2 - 10*(k - 3/5)*x + 16*(k - 7/16)
di pendenza
* m(x) = dy/dx = 6*(k - 2/3)*x - 10*(k - 3/5)
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, perciò esamino i tre casi particolari prima di quello generale.
---------------
a) k = 2/3
* Γ(2/3) ≡ y = (11 - 2*x)/3 ≡ 2*x + 3*y - 11 = 0
la parabola degenera su una retta semplice.
---------------
b) k = 3/5
* Γ(3/5) ≡ y = (13 - x^2)/5
la parabola ha l'asse y di simmetria.
---------------
c) k = 7/16
* Γ(7/16) ≡ y = 13*x/8 - 11*x^2/16
la parabola ha uno zero nell'origine.
---------------
abc) Il sistema dei casi particolari
* (y = (11 - 2*x)/3) & (y = (13 - x^2)/5) & (y = 13*x/8 - 11*x^2/16)
non ha soluzioni reali.
Quindi "soluzione:[ parabole tangenti nel punto A(1;-2) alla retta y+x+1=0" non può essere vera.
O io ho pasticciato qualcosa oppure è più probabile che tu abbia scritto male qualcos'altra.
---------------
d) k != 2/3
* Γ(k) ≡ y = (3*k - 2)*x^2 + 2*(3 - 5*k)*x + (16*k - 7) ≡
≡ y = 3*(k - 2/3)*x^2 - 10*(k - 3/5)*x + 16*(k - 7/16) ≡
≡ y = (3*(k - 2/3))*(x^2 - (10/3)*((k - 3/5)/(k - 2/3))*x + (16/3)*(k - 7/16)/(k - 2/3)) ≡
≡ y = (3*(k - 2/3))*((x - (5/3)*((k - 3/5)/(k - 2/3)))^2 - ((5/3)*((k - 3/5)/(k - 2/3)))^2 + (16/3)*(k - 7/16)/(k - 2/3)) ≡
≡ y = (3*(k - 2/3))*(x - (5/3)*(k - 3/5)/(k - 2/3))^2 + (23*k^2 - 23*k + 5)/(3*k - 2)
quindi le parabole non degeneri hanno
* apertura a = 3*k - 2
* vertice V((5/3)*(k - 3/5)/(k - 2/3), (23*k^2 - 23*k + 5)/(3*k - 2))
il cui luogo
* y = (x^2 - 11*x + 13)/(5 - 3*x)
si ottiene eliminando k dalle coordinate di V.