[Risolto] Fasci generate da due rette

Scriviamo l'equazione del fascio generato dalle rette $r$ e $s$ combinando linearmente le loro equazioni:
\[
x-2 y+1+k(x+y-2)=0 \rightarrow x-2 y+1+k x+k y-2 k=0
\]
Raccogliamo $x$ e $y$
\[
(1+k) x+(k-2) y+1-2 k=0
\]
Per stabilire di che tipo di fascio si tratta analizziamo le equazioni di $r$ e di $s ;$ le rette non sono parallele perché:
\[
a b^{\prime}-a^{\prime} b=1 \cdot 1-(-2) \cdot 1=3 \neq 0
\]
Il fascio è proprio e il centro è il punto $C$ di intersezione tra $r$ e $s$
Calcoliamo le coordinate del centro:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x-2 y+1=0 \\
x+y-2=0
\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=2 y-1 \\
2 y-1+y-2=0
\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=2 y-1 \\
3 y=3
\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=1
\end{array}\right.\right.\right.\right.
\]
Le rette $r$ e $s$ generano un fascio proprio di centro $C(1 ; 1)$
Per determinare l'equazione della retta del fascio passante per $P(3 ;-2)$ sostituiamo le coordinate di $P$ alla $x$ e alla $y$ nell'equazione del fascio:
\[
(1+k) 3+(k-2)(-2)+1-2 k=0
\]
Calcoliamo $k$ risolvendo l'equazione ottenuta:
\[
3+3 k-2 k+4+1-2 k=0 \rightarrow k=8
\]
Sostituiamo nell'equazione del fascio il valore di $k$ trovato e otteniamo
\[
9 x+6 y-15=0 \rightarrow 3 x+2 y-5=0
\]
che è l'equazione della retta cercata.

Io l'ho risolto così per qualsiasi dubbio chiedi tranquillamente

Con (p, q) non entrambi nulli l'espressione
* ρ(p, q) ≡ p*r + q*s ≡ p*(x - 2*y + 1) + q*(x + y - 2) = 0 ≡
≡ (p + q)*x + (q - 2*p)*y + (p - 2*q) = 0
rappresenta, al variare di (p, q), tutte e sole le rette per C(1, 1); quindi il fascio proprio che ha come sostegno il punto C(1, 1), intersezione fra (p, q) = (0, 1) e (p, q) = (1, 0) cioè fra r ed s.
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La retta richiesta è la congiungente
* CP ≡ 3*x + 2*y - 5 = 0
cioè
* ρ(1/3, 8/3) ≡ (1/3 + 8/3)*x + (8/3 - 2*1/3)*y + (1/3 - 2*8/3) = 0