Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Esercizio sull'iperbole

  

0

a) Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita ai propri asintoti, passante per il punto di coordinate (-2; -3).

b) Scrivi l’equazione della circonferenza avente centro nell’origine del sistema di riferimento e raggio 2. Siano A e B le sue intersezioni con i semiassi positivi delle x e delle y.

c) Determina le equazioni delle tangenti all’iperbole mandate da A e B.

d) Calcola l’area del quadrilatero formato da dette tangenti e dagli asintoti dell’iperbole.

Autore
Etichette discussione
1 Risposta
1

a)

l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti è

xy=k con k≠0

imponi il passaggio per il punto

(-2)(-3)=k

k=6

l'equazione è

xy=6

 

b)

l'equazione della circonferenza di centro C(xc;yc) e raggio r è

(x-xc)²+(y-yc)²=r²

quindi hai

(x-0)²+(y-0)²=4

x²+y²=4

 

metti a sistema circonferenza e asse x

x²+y²=4

y=0

ricavi

x=-2 -->non accettabile

x=2

A(2;0)

 

metti a sistema circonferenza e asse y

x²+y²=4

x=0

ricavi

y=-2 -->non accettabile

y=2

B(0;2)

 

c)

la retta generica per A ha equazione

y-ya=m(x-xa)

y=mx-2m

 

la retta generica per B ha equazione

y-yb=m(x-xb)

y=mx+2

 

metti a sistema iperbole e prima retta

xy=6

y=mx-2m

 

x(mx-2m)-6=0

mx^2-2mx-6=0

imponi la condizione di tangenza Δ=0

4m^2-4(m)(-6)=0

ricavi

m=-6 --> la retta ha equazione y=-6x+12

m=0 --> y=0 asse x

 

metti a sistema iperbole e seconda retta

xy=6

y=mx+2

 

x(mx+2)-6=0

mx^2+2x-6=0

imponi la condizione di tangenza Δ=0

4-4(-6)(m)=0

m=-1/3 --> la retta ha equazione y=-x/6+2

 

gli asintoti dell'iperbole sono gli assi ke hanno equazioni

y=0

x=0

 

la retta

y=-6x+12

interseca gli assi nei punti

C(2;0) D(0;12)

 

la retta

y=-x/6+2

interseca gli assi nei punti

E(12;0) F(0;2)

 

metti a sistema le due rette

y=-6x+12

y=-x/6+2

ricavi

x=12/7

y=12/7

le due rette si intersecano in P(12;7;12/7)

il quadrilatero ha vertici

CFPO

la retta per PO è y=x

la retta per CF è x/+y/2=1 (forma segmentaria della retta)

le due rette sono ortogonali uindi per avere l'area basta moltiplicare

area = PO x CF : 2

dove

PO=√(xp-xo)²+(yp-yo)² =√288/49

CF=√(2-0)²+(0-2)² =√8

area = √288/49 x √8 : 2 = 24/7






Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA