a)
l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti è
xy=k con k≠0
imponi il passaggio per il punto
(-2)(-3)=k
k=6
l'equazione è
xy=6
b)
l'equazione della circonferenza di centro C(xc;yc) e raggio r è
(x-xc)²+(y-yc)²=r²
quindi hai
(x-0)²+(y-0)²=4
x²+y²=4
metti a sistema circonferenza e asse x
x²+y²=4
y=0
ricavi
x=-2 -->non accettabile
x=2
A(2;0)
metti a sistema circonferenza e asse y
x²+y²=4
x=0
ricavi
y=-2 -->non accettabile
y=2
B(0;2)
c)
la retta generica per A ha equazione
y-ya=m(x-xa)
y=mx-2m
la retta generica per B ha equazione
y-yb=m(x-xb)
y=mx+2
metti a sistema iperbole e prima retta
xy=6
y=mx-2m
x(mx-2m)-6=0
mx^2-2mx-6=0
imponi la condizione di tangenza Δ=0
4m^2-4(m)(-6)=0
ricavi
m=-6 --> la retta ha equazione y=-6x+12
m=0 --> y=0 asse x
metti a sistema iperbole e seconda retta
xy=6
y=mx+2
x(mx+2)-6=0
mx^2+2x-6=0
imponi la condizione di tangenza Δ=0
4-4(-6)(m)=0
m=-1/3 --> la retta ha equazione y=-x/6+2
gli asintoti dell'iperbole sono gli assi ke hanno equazioni
y=0
x=0
la retta
y=-6x+12
interseca gli assi nei punti
C(2;0) D(0;12)
la retta
y=-x/6+2
interseca gli assi nei punti
E(12;0) F(0;2)
metti a sistema le due rette
y=-6x+12
y=-x/6+2
ricavi
x=12/7
y=12/7
le due rette si intersecano in P(12;7;12/7)
il quadrilatero ha vertici
CFPO
la retta per PO è y=x
la retta per CF è x/+y/2=1 (forma segmentaria della retta)
le due rette sono ortogonali uindi per avere l'area basta moltiplicare
area = PO x CF : 2
dove
PO=√(xp-xo)²+(yp-yo)² =√288/49
CF=√(2-0)²+(0-2)² =√8
area = √288/49 x √8 : 2 = 24/7