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[Risolto] Esercizio sull'ellisse

  

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Buonasera, avrei bisogno di capire quale sia il meccanismo per risolvere un esercizio come il seguente:

"Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano ellissi, scrivile nella forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all'asse x o all'asse y.

a. x2 + y2/2 -1=0

b. x2=9y2+1;

c. x2 +25y2-100=0;

Grazie in anticipo

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Equazione canonica dell'ellisse a cui faremo riferimento è

x²/a² + y²/b² = 1

Se a² > b² allora i fuochi appartengono all'asse delle x

Se a² < b² allora i fuochi appartengono all'asse delle y

 

 

a. x2 + y2/2 -1=0

-) forma canonica x²/1 + y²/2 = 1

-) 1 < 2 quindi i due fuochi appartengono all'asse delle y

 

b. x2=9y2+1 cioè 

x2-9y2=1

L'equazione non rappresenta un'ellisse essendo presente un segno negativo (-9y2)

 

c. x2 +25y2-100=0 cioè

x2 +25y2=100 dividendo ambo i membri per 100

x2/100 + y2/4 = 1

 

-) forma canonica x²/100 + y²/4 = 1

-) 100 > 4 quindi i due fuochi appartengono all'asse delle x




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@l-boccapianola

Una piccola osservazione iniziale. Scrivi in questo modo le equazioni:

x^2 + y^2/2 - 1 = 0 ; x^2 = 9·y^2 + 1  ; x^2 + 25·y^2 - 100 = 0

La prima e la terza rappresentano delle ellissi, la seconda rappresenta una iperbole.

Le ellissi hanno la seguente struttura:

                                     x^2/a^2+y^2/b^2=1 

Le ellissi  sono curve chiuse che intersecano gli assi cartesiani in punti detti vertici. Posto a>0 e b>0 tali vertici hanno coordinate : V(-a,0) ; V(+a,0) ; V(0,-b); V(0,+b). Sono, tanto per intenderci delle circonferenze una volta che siano schiacciate diametralmente. Tanto per farci capire, la differenza fra una circonferenza (con centro nell'origine) ed una ellisse (con centro nell'origine, perché di questo siamo parlando), è data da un parametro detto eccentricità, misurato dal rapporto e = c/a se il fuoco sta sull'asse delle x, oppure e=c/b se il fuoco sta sull'asse delle y.

Quindi, per non dilungarci troppo vediamo come scriverle nella forma canonica:

x^2 + y^2/2 = 1 che di primo acchitto possiamo scrivere come x^2/1 + y^2/2 = 1 in cui si riconoscono a^2 e b^2: b^2>a^2 quindi  i fuochi appartengono all'asse delle y

x^2 + 25·y^2 - 100 = 0 ----->( divido per 100)--->x^2/100 + y^2/4 = 1 

in questo caso  a^2> b^2 quindi i fuochi stanno sull'asse delle x

La seconda è un'iperbole con i fuochi sull'asse delle x.

x^2 - 9·y^2 = 1----->x^2/1-y^2/(1/9)=1 qui abbiamo 2 vertici in V(-1,0) e V(+1,0) e due fuochi

posti "internamente ai due rami da cui è costituita.

Limitiamoci a rispondere a quanto richiesto sperando di essere capito. Ciao.

2

Il meccanismo richiesto consiste essenzialmente nel rammentare le proprietà caratteristiche delle entità studiate nei capitoli precedenti e nell'applicarle alle equazioni date.
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Nel caso in esame le proprietà da rammentare riguardano la forma delle equazioni delle coniche
* Γ ≡ p(x, y) = 0
dove p(x, y) è un polinomio di secondo grado nelle variabili (x, y).
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1) Se il complesso dei termini di secondo grado è il quadrato di un binomio
* (u*x + v*y)^2
allora Γ è una parabola, altrimenti Γ è una conica a centro.
Tutt'e tre le equazioni date rappresentano coniche a centro.
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2) Se fra i termini di secondo grado c'è quello rettangolare in
* x*y
allora Γ ha asse/i di simmetria che intersecano entrambi gli assi (x, y), altrimenti Γ ha asse/i di simmetria parallelo/i agli assi coordinati (solo a uno se è parabola).
Tutt'e tre le equazioni date rappresentano coniche con assi non inclinati.
---------------
3) Se ci sono termini di primo grado nell'equazione di una conica a centro, questo non è nell'origine.
Tutt'e tre le equazioni date rappresentano coniche centrate nell'origine.
---------------
4) L'equazione di una conica a centro centrata nell'origine con assi di simmetria giacenti sugli assi coordinati (CCOAC) è riducibile alla forma
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = uno di {- 1, 0, 1}
Nessuna delle equazioni date si riduce ad avere secondo membro zero (conica degenere).
Tutt'e tre le equazioni date rappresentano CCOAC non degeneri, di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
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5) Fra le CCOAC le ellissi reali hanno positivi entrambi i doppi segni
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
ed hanno i fuochi sull'asse dove giace il semiasse maggiore
* se a > b i fuochi sono sull'asse x alle coordinate (± √(a^2 - b^2), 0)
* se a < b i fuochi sono sull'asse y alle coordinate (0, ± √(b^2 - a^2))
------------------------------
Una volta rammentati questi fatti per applicarli alle equazioni date si deve
---------------
A) Portare l'equazione alla forma
* Γ ≡ u*a^2 + v*y^2 = w
---------------
B) Dividere membro a membro per il secondo membro
* Γ ≡ u*a^2/w + v*y^2/w = 1
---------------
C) Identificare i semiassi e i fuochi
* Γ ≡ (x/√(w/u))^2 + (y/√(w/v))^2 = 1
* se √(w/u) > √(w/v) i fuochi sono sull'asse x
* se √(w/u) < √(w/v) i fuochi sono sull'asse y






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