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[Risolto] Esercizio su funzione modello

  

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Durante una gara, una macchina percorre un tratto di strada in piano, con una traiettoria che può essere descritta dalla funzione modello:

$$y=\frac{3-x^{2}}{x+1}, x<-\sqrt{3}$$

  • si disegni il grafico della funzione modello nel suo dominio naturale;
  • si studi la continuità della funzione nel suo dominio naturale;
  • si determinino eventuali asintoti.
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Ciao!

Innanzi tutto ti direi di cambiare il titolo, che non è molto chiaro...scrivi tipo "studio di funzione" o qualcosa del genere.

Passiamo a risolvere il problema.

Quello che ti viene chiesto è proprio l'inizio di uno studio di funzione, pertanto, vista l'importanza dell'argomento, cercherò di essere il più chiaro possibile.

STUDIO DI FUNZIONE

Nel tuo caso, devi limitarti a 3 sole richieste: dominio, asintoti e grafico. L'ordine in cui risolvere è il seguente:

  1. Dominio e continuità
  2. Ricerca di asintoti
  3. Disegno del grafico

 

1) DOMINIO E CONTINUITÀ

Per trovare il dominio della funzione, essendo essa una fratta, basta porre il denominatore diverso da zero:

$ x+1 != 0 \rightarrow x != -1 $.

(Il ! non indica il fattoriale, ma != significa 'diverso da').

Questo è il dominio naturale della funzione, e in tale intervallo la funzione risulta essere continua.

Ti viene specificato di considerare solo le $ x<-\sqrt{3} $, ma di studiare la funzione nel dominio naturale, quindi fai conto che quella condizione non ci sia (nel problema di matematica; nel momento in cui passi a studiare il problema di fisica, ovviamente, consideri la parte di questa funzione che rispetta la condizione imposta).

2) RICERCA DI ASINTOTI

Non so se hai studiato i limiti, (ne approfitto per dirti di specificare il tuo livello di studi quando posti problemi di dubbia collocazione didattica) quindi mi fermo ad una considerazione puramente teorica...nel caso in cui tu abbia dimestichezza con i limiti, invece, ti risulterà banale trovare i risultati che andremo a discutere.

(Sorvolo sulla definizione di asintoto, se è un concetto che ti manca dimmelo e aggiungo una nota).

Dato che esistono 3 tipi di asintoti, cerchiamo di capire come studiare ogni possibilità:

A): Asintoti verticali

Gli asintoti verticali sono delle rette verticali, quindi quando la funzione ha un asintoto di questo tipo significa che tende all'infinito in un intorno (completo o non) del punto. Quindi, gli asintoti verticali vanno cercati tra i punti di discontinuità della funzione, in quanto in generale essa non assume valore in corrispondenza di quella x.

La loro equazione generica, quindi, è $ x=h $. Poiché vanno cercati tra i punti di discontinuità, ci basta capire quali siano i punti di discontinuità della nostra funzione.

L'unico che abbiamo trovato dallo studio su dominio e continuità è $ x=-1 $. Bisogna ora studiarne il tipo: poiché sostituendo nella funzione $ x=-1 $ si ottiene un numero diviso per zero, concludiamo che la funzione tende all'infinito (o, come si dice spesso, "esplode") in un intorno di $ -1 $. 

(Se non sai cosa sia un punto di discontinuità o come essi si classificano, chiedi pure ed aggiungo una nota).

Quindi, il punto di discontinuità è di II specie e la funzione ha, in corrispondenza di tale valore, un asintoto verticale; esso avrà equazione pari all'ascissa del punto, quindi $ x=-1 $ è il tuo primo asintoto.

B): Asintoti orizzontali

Quando si ha a che fare con funzioni fratte (con polinomi a numeratore e denominatore), gli asintoti verticali possono esistere solo se il numeratore è dello stesso grado del denominatore.

Poiché si tratta di rette orizzontali, di equazione generica $ y=k $, il comportamento della funzione va studiato non come prima, in un punto escluso dal dominio, ma all'infinito. Mi spiego meglio: quando si studiano gli asintoti verticali si parla di punti che la funzione non assume in quanto esclusi dal dominio a causa della loro natura "esplosiva" (ovvero, tale per cui i valori della funzione schizzano a $ \pm \infty $); quando si studiano asintoti orizzontali e obliqui si cerca di capire come la funzione si comporta per valori di $ x $ enormemente grandi in valore assoluto ($ x\rightarrow \pm \infty $). 

Quindi, dovremmo necessariamente passare al limite, in quanto non possiamo semplicemente sostituire $ \pm \infty $ a x e studiare il risultato dell'operazione come se nulla fosse.

Questo ostacolo, come anticipato, può essere aggirato cercando di capire se il grado del numeratore è uguale o meno a quello del denominatore. Nel nostro caso non è così: infatti il grado del numeratore è pari a 2, quello del denominatore a 1. 

Questo significa che il numeratore cresce più velocemente del denominatore, e all'infinito la funzione tende ad assumere valori sempre più grandi (in valore assoluto): non è limitata. Non essendo limitata, è impossibile che esistano asintoti orizzontali (nota, studiando il limite si sarebbe portato avanti lo stesso tipo di ragionamento, dicendo, in termini più specifici, che il numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore).

C): Asintoti obliqui

Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, possiamo subito dire che vanno cercati esattamente come gli asintoti orizzontali, ovvero per $ x\rightarrow \pm \infty $, e confrontando i gradi di numeratore e denominatore. Essendo il numeratore di un grado solo superiore al denominatore, potrebbe esistere un asintoto obliquo, che ha forma generale $ y=mx+q $.

Per trovare il coefficiente angolare basta calcolare il rapporto dei coefficienti del termine di grado massimo a numeratore e del denominatore. Dato che a numeratore abbiamo $ -x^2 $ e a denominatore $ x $, il rapporto tra i coefficienti restituisce $ m=-1 $. Per trovare l'intercetta q, basta operare nel modo seguente:

$ \frac{numeratore}{denominatore}-mx $

Nel nostro caso abbiamo:

$ \frac{3-x^2}{(x+1)}-(-1)(x) \rightarrow \frac{(3-x^2)+x(x+1)}{x+1} $

(Dove ho semplicemente scritto il tutto come unica frazione).

Ora, svolgendo i calcoli, otteniamo:

$ \frac{3+x}{x+1} $

Operando come visto per gli asintoti orizzontali (dato che ora numeratore e denominatore hanno stesso grado), basta trovare il rapporto dei coefficienti di grado massimo.

Avendo (sia sopra che sotto) x, tale rapporto è, semplicemente, 1. Quindi $ q=1 $.

Ricapitolando, l'asintoto obliquo ha equazione: $ y=mx+q $, e sostituendo $ y=1-x $.

3) DISEGNO DEL GRAFICO

Per tracciare il grafico tracciamo innanzi tutto gli asintoti. Poi, in merito a quello obliquo, cerchiamo se la funzione ha altre intersezioni con esso mettendo a sistema l'equazione della retta con la funzione.

$ \Biggl\{ \begin{matrix}y=\frac{3-x^2}{x+1}\\y=1-x\end{matrix} $

Eguagliando le y, si ottiene:

$ 1-x=\frac{3-x^2}{x+1} \rightarrow 1-x^2=3-x^2 \rightarrow $ Non esistono soluzioni

Quindi la funzione non interseca l'asintoto in altri punti. Per disegnare il grafico abbiamo bisogno di altre informazioni.

Innanzi tutto studiamo le intersezioni con l'asse x, ovvero i punti in cui la funzione si annulla.

1) Intersezioni con l'asse x

Per far ciò, basta porre il numeratore pari a 0: 

$ 3-x^2=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{3} $

Quindi disegniamo questi due punti e andiamo avanti.

2) Intersezioni con l'asse y

Per trovare le intersezioni con l'asse y, basta porre $ x=0 $:

$ y=\frac{3}{1} \rightarrow y=3 $

Disegniamo il punto e proseguiamo.

3) Studio del segno

Per studiare il segno di una funzione, basta impostare una semplice disequazione fratta:

$ y>0 \rightarrow \frac{3-x^2}{x+1}>0 \rightarrow  $

Studio separatamente numeratore e denominatore:

$ 3-x^2>0 \rightarrow x<-\sqrt{3} \vee x>\sqrt{3} $

$ x+1>0 \rightarrow x>-1 $

Facendo il prodotto dei segni, si ottiene:

$ y>0 \Leftrightarrow x<-\sqrt{3} \vee -1<x<\sqrt{3} $

 

A questo punto abbiamo tutto quel che ci serve per tracciare il grafico.

(Non è necessario studiare i limiti, in quanto si arriva al risultato anche tramite ragionamento).

Infatti, mettendo assieme le informazioni, sappiamo che la funzione è positiva quando $ x\rightarrow -\infty $ e tende, quindi, a $ +\infty $.

Analogamente, essendo negativa per $ x\rightarrow +\infty $, tenderà, per tali valori di x, a $ -\infty $.

Come tende a infinito? Semplice, avvicinandosi (senza toccarlo) all'asintoto. Quindi, si avvicinerà "da sotto" quando $ x\rightarrow -\infty $ e "da sopra" quando $ x\rightarrow +\infty $.

Inoltre, si può facilmente intuire che, in prossimità dell'asintoto verticale, la funzione esplode positivamente quando è positiva e negativamente quando è negativa. Quindi $ f(x)\rightarrow +\infty $ per $ x\rightarrow -1^+ $, ovvero quando si avvicina da destra, e $ f(x)\rightarrow -\infty $ per $ x\rightarrow -1^- $.

 

Questo è tutto! Ti lascio il link di desmos per plottare il grafico ed avere una rappresentazione migliore: https://www.desmos.com/calculator .

Noterai che non ho studiato la parità o disparità: sicuramente c'è una simmetria rispetto al centro della funzione ($ x=-1 $), ma essendo questo un valore diverso da zero, di certo la funzione non è né pari né dispari, come avrai modo di verificare "guardandola"! 😀

 

Per qualsiasi dubbio o chiarimento chiedi pure.
Buono studio

@gabriele22 scusa ma nella tua soluzione non tieni conto che nel testo e’ imposto un dominio ridotto a x minore di -rad 3.... perché?

@Cenerentola

Come ho scritto, non è che non ne tengo conto.

Nella traccia c'è scritto di studiare la funzione nel suo dominio naturale (ovvero $ R-\{-1\} $). Immaginando che si tratti di un problema di matematica applicato alla fisica, ho specificato che nella parte di matematica si risolve la traccia data (studiando la funzione nel dominio naturale), e nella parte di fisica si considera solo il grafico per $ x<-\sqrt{3} $.

Cosa non ti convince?

@gabriele22 ho chiaramente capito quello che hai fatto e anche perché... E sicuramente hai ragione tu... Tutto parte dalla definizione di 'dominio naturale' che, io, conosco come sinonimo di campo di esistenza e pertanto, secondo me, deve tenere conto anche delle restrizioni imposte nel testo... Diciamo che, per come interpreto io il testo, la funzione deve essere studiata nell'intervallo ridotto... Ma ti ripeto che è molto probabile che sbagli io nell'interpretare il testo... 

@Cenerentola Non so che dirti, a questo punto sarebbe da chiedere a @senny se il testo fosse inserito in un problema più ampio o meno. Resta il fatto che il dominio naturale di una funzione non dovrebbe tener conto di ulteriori condizioni poste in un secondo momento. Comunque sia, lo svolgimento quello è, se serve di restringere il campo di esistenza basta tagliare tutto quel che c'è oltre il $x=-\sqrt{3}$.

@gabriele22 si certo  ... la mia considerazione era solo per arrivare ad una chiara definizione di ‘dominio naturale’...😀

@Cenerentola E sono d'accordo con te sulla necessità di fare chiarezza. Si tratta, però, di punti di vista differenti. Per te il dominio naturale è quello che ti dà il testo, ovvero la restrizione della funzione. Per me il dominio naturale è quello della funzione, e poi, eventualmente, sottrai un certo "pezzo" di grafico, come da condizione. Giustifico questa mia asserzione con due tesi:

1. Non vedo la necessità di specificare "Si studi la funzione sul suo dominio naturale" se si deve considerare solo la restrizione imposta dal testo;

2. In problemi del genere, in cui si applicano conoscenze matematiche in ambito fisico, è normale considerare delle restrizioni (ad esempio una funzione che esprime la variazione di una grandezza in funzione del tempo, non accetta valori negativi in input, quindi sarà definita solo su un certo intervallo), ma il dominio naturale, matematico, puro (chiamalo come vuoi) della funzione, resta "l’insieme più ampio di valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore y". Questa è la definizione. E l'insieme più ampio non tiene conto delle restrizioni che tu, successivamente, vai a considerare.

 

Poi per carità, l'interpretazione è duplice ed ambigua, ma allora a questo punto non possiamo far altro che dire che le nostre risoluzioni sono entrambe corrette, e che lo svolgimento dell'esercizio dipende dal contesto.

@gabriele22 perfettamente d’accordo!😀



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• Il grafico della funzione modello è la parte a sinistra della retta blue.

Se con dominio "naturale" si intende il dominio del modello allora D=(-oo,-√3)

Se con dominio "naturale" si intende il dominio della funzione y(x) allora

D=(-oo,-1) U (-1,+oo)

 

• La funzione y(x) è una funzione del tipo razionale fratta (rapporto tra due polinomi).

Questo tipo di funzioni sono definite e continue il tutto ℝ salvo i punti che annullano il denominatore.

La funzione è quindi continua in (-oo,-1) U (-1,+oo) ovvero per x<-1 V x>-1.

Un'altro modo di dimostrarlo senza far ricorso alla classificazione delle funzioni e che tutte le funzioni polinomiali sono funzioni continue essendo somme di potenze di cui si conosce la continuità. Esiste un teorema che afferma la continuità del rapporto di due funzioni continue, laddove definito, è ancora una funzione continua.

 

 • limiti e asintoti

 

-) lim(x→-1⁻) y(x) = -oo

-) lim(x→-1⁺) y(x) = +oo

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x=-1

 

-) lim(x→-oo) y(x) = +oo

-) lim(x→+oo) y(x) = -oo

Non ci sono asintoti orizzontali. Verifichiamo l'esistenza di asintoti obliqui, calcolandone i coefficienti-

 

m = lim(x→±oo) y(x)/x = lim(x→±oo) (-x^2+3)/(x^2+x) = -1

 

q = lim(x→±oo) y(x)-mx = lim(x→±oo) (-x^2+3+x^2+x)/(x+1) =

= lim(x→±oo) (3+x)/(x+1) = 1

 

Esiste un asintoto obliquo di equazione y = -x +1  

96cf9ffd60ac4efcaad865d5e416e5c6 A 2



Risposta




SOS Matematica

4.6
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