Ho delle difficoltà sullo svoglimento di questi tre esercizi che non riesco a risovere. Come si deve procedere?
Ho delle difficoltà sullo svoglimento di questi tre esercizi che non riesco a risovere. Come si deve procedere?
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Livello 0
Ciao!
Innanzi tutto ti ricordo che, da regole, dovresti postare un esercizio alla volta...magari la prossima volta aspetta che ti arrivi la risposta ad una domanda, prima di postare la seconda.
Comunque, passiamo a studiare gli esercizi.
1. Iniettività e suriettività
Per prima cosa studiamo la situazione: abbiamo una retta ed una parabola, quest'ultima definita oltre il suo vertice, quindi sempre crescente.
Affinché una funzione sia invertibile, è necessario che ad ogni controimmagine sia associata una ed una sola immagine.
Formalizziamo quanto detto:
Continuità
Affinché la funzione sia continua, è necessario che le due funzioni si incontrino nel punto di raccordo.
$ 2ax+1=x^2+4x+2 \rightarrow 2a(2)+1=(2)^2+4(2)+2 \rightarrow 4a+1=14 \rightarrow a=\frac{13}{4} $
Iniettività
Trovato il valore di a, possiamo ragionare (senza altri calcoli) su ciò che abbiamo davanti. Se la retta fosse più inclinata, incontrerebbe la parabola in un punto più in alto e a destra rispetto a $ (2,14) $, quindi perderemmo la condizione di iniettività.
Per tale ragione, deve necessariamente essere $ a\leq \frac{13}{4} $.
Bisogna ora trovare il limite inferiore.
Per questo serve un po' di immaginazione: diminuendo la pendenza della retta, si otterrebbero altre rette, nessuna delle quali assumerebbe valori pari a quelli della parabola, quindi sono tutte soluzioni accettabili. Ciò, però, accade solo finché tali rette sono inclinate positivamente. Nel momento in cui cambia il verso della pendenza, infatti, per $ x\rightarrow -\infty $, esisterà necessariamente un valore di x tale per cui la retta assume la stessa ordinata dei punti della parabola. Per tale ragione, il limite inferiore cercato è 0.
Infine, tale valore non può essere assunto da a, altrimenti si avrebbe una retta orizzontale, la cui funzione inversa, in realtà, non è una funzione.
Quindi $ 0<a\leq \frac{13}{4} $
Suriettività
Per la suriettività il discorso è più semplice: avendo già trovato il valore di a per cui la funzione è continua, infatti, basta rendersi conto del fatto che, per $ a\leq \frac{13}{4} $, la retta non assume tutti i valori minori di 2, il che rende la funzione non suriettiva.
Quindi, necessariamente, deve essere $ a>\frac{13}{4} $.
2. Domini
Per il primo insieme, basta tracciare la retta che delimita la regione di piano da considerare. Tale retta non è compresa nel dominio, che quindi sarà un insieme aperto, e poiché vengono accettati tutti i valori minori di tale retta (ovvero, la parte di piano al di sotto di essa), il dominio è illimitato.
I punti di accumulazione sono tutti i punti del dominio E quelli della retta (non è necessario, infatti, che il punto appartenga al dominio, ma solo che esistano punti del dominio in un suo intorno).
Per il secondo, invece, abbiamo l'area del piano che si trova al di sopra della parabola indicata e nella metà positiva dell'asse x. Essendo la parabola compresa nel dominio, tale insieme è chiuso e illimitato (perché sono accettabili tutti i valori, fino all'infinito).
I punti di accumulazione sono tutti i punti del dominio.
3. Estremi
A): $ \frac{n^2+6}{2n^2} $
Per trovare l'estremo superiore di questa successione, separiamo la frazione: $ \frac{1}{2}+\frac{6}{2n^2} $.
L'estremo superiore, che coincide col massimo in quanto facente parte della successione, è il valore per cui risulta minimo il denominatore: $ n=1 $
Quindi si avrà: $ sup(a_{1})=max(a_{1})=\frac{7}{2} $.
Per l'estremo inferiore, bisogna trovare il valore per cui il secondo termine è massimo: $ n=+\infty $. Essendo questo un valore non assumibile da n, non esiste minimo per questa successione, che ha comportamento asintotico verso l'estremo inferiore, il quale è pari a $ inf(a_{1})=\frac{1}{2} $.
B): $ (n-2)log(n-2) $
Valgono gli stessi ragionamenti di prima, ma stavolta l'estremo superiore (e quindi il massimo) non esistono: la successione è, infatti, illimitata.
Per l'estremo inferiore (che coincide con il minimo) si devono considerare i valori di n accettabili: $ n>2 $. Essendo il primo valore di n ammissibile 3, ed essendo che per $ n=4 \rightarrow log(n-2)=log(2)>1 $, l'estremo inferiore (coincidente con il minimo) si avrà per $ n=3 $, e vale: $ inf(a_{2})=min(a_{2})=0 $.
Spero di esser stato chiaro, se hai dubbi chiedi pure!
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Livello 2
Grazie mille per la spiegazione super dettagliata!🙂
Mi scuso anche per aver postato più esercizi, la prossima volta sicuramente presto attenzione!
Se posso chiedere, ho un dubbio per quanto riguarda le successioni. Essendo questo un vecchio esame tipo, al tempo dell'esame ho svolto la successione anche io cosi, ma mi è stato segnato come esercizio errato in quanto avrei dovuto studiare il segno della derivata della successione, ma chiedendo spiegazioni sul perché non mi è stata fornita!
Vorrei risolvere questo dubbio per poter affrontare nuovamente l'esame!😅
Grazie ancora!!!
Ciao Marina!
Sinceramente non so dirti perché l'esercizio ti sia stato considerato sbagliato, evidentemente nel testo la traccia era diversa, o magari il tuo professore voleva lo svolgessi come lo ha fatto lui ad esercitazione (in tanti fanno così).
Comunque, se l'esame era di AM1, è possibile che il tuo professore volesse verificare le tue conoscenze sulle derivate e le loro implicazioni.
Studiando il segno della derivata della prima successione avresti:
$ -\frac{6}{n^3} >0 $ per nessun n, quindi ne deduci che la successione è sempre decrescente e, quindi, il valore di n per cui essa assume il massimo è $ n=1 $, che corrisponde a $ \frac{7}{2} $.
Per l'estremo inferiore, invece, non credo valga la pena inventarsi un modo diverso di ragionare.
Per l'altra successione la situazione è la seguente:
$ log(n-2)+1 >0 \rightarrow n-2 > e^{-1} \rightarrow n > 2+e^{-1} $, quindi per $ n>2 $ la successione cresce, mentre decresce per $ n=1,2 $. Questo significa che in corrispondenza di $ n = 2+e^{-1} $ si avrebbe il minimo, ma dato che tale valore non è intero, non può essere assunto da n. Ora, dato che $ n>2 $ per la condizione dettata dal dominio della funzione, è chiaro che il minimo si trova in corrispondenza di $ n=3 $. Per l'estremo superiore vale la stessa cosa che ti ho raccontato ieri, solo che puoi "condirla" ragionando sulla derivata.
Credo che il tuo professore volesse questo tipo di ragionamento, che sicuramente è più elaborato e, forse, formale, ma per questo è anche più probabile fonte di errori.
Perdonami se ti ho risposto solo ora, ma non mi era arrivata la notifica.
Se hai altri dubbi chiedi pure! 😀