Esercizio matematica 3^superiore

Esplicitando le quattro equazioni date
a) 5*y - 12*x + a = 0 ≡ y = (12*x - a)/5
b1) 12*y + 5*x + b = 0 ≡ y = - (5*x + b)/12
b2) 12*y + 5*x + b - 60 = 0 ≡ y = - (5*x + b - 60)/12
c) 5*y - 12*x + c = 0 ≡ y = (12*x - c)/5
si nota quanto segue.
1) Sono quattro forme di due fasci di parallele, due con pendenza m = 12/5 (θ ~= 67°) e due con pendenza m' = - 1/m = - 5/12 (θ ~= - 23°), quindi i due fasci sono ortogonali.
2) Le due forme b hanno intercette a distanza fissa cinque (60/12), e distano 60/13 < 5.
3) Le due forme a e c hanno intercette a distanza |c - a|, e distano |c - a|/13.
NB
* cos(arctg(- 5/12)) = sin(arctg(12/5)) = 12/13
* sin(arctg(- 5/12)) = - 5/13
* cos(arctg(12/5)) = 5/13
RISPOSTA
Affinché le rette dei fasci formino un quadrato per qualunque valore di a e b occorre e basta che
* |c - a|/13 = 60/13 ≡ c = a ± 60

@filippocalogero47

Ciao e benvenuto.

Notiamo che i fasci di rette definiti dalle equazioni implicite:

5·y - 12·x + a = 0

12·y + 5·x + b = 0

5·y - 12·x + c = 0

12·y + 5·x + (b - 60) = 0

formano per valori arbitrari di a di b e di c dei rettangoli in quanto composte da rette parallele e da rette perpendicolari. Il problema si risolve andando a valutare le distanze tra le rette parallele e dire che tali distanze siano uguali.

12·y + 5·x + b = 0 e 12·y + 5·x + (b - 60) = 0 sono fra loro parallele

se esplicitiamo la prima rispetto ad y si ottiene: y = - 5·x/12 - b/12

Quindi un suo generico punto ha coordinate: [x, - 5·x/12 - b/12]

quindi si ha : che la sua distanza dalla retta: 12·y + 5·x + (b - 60) = 0 vale:

d = ABS(12·(- 5·x/12 - b/12) + 5·x + (b - 60))/√(5^2 + 12^2)

Analogamente:

5·y - 12·x + a = 0 e 5·y - 12·x + c = 0 sono parallele e non coincidenti posto che sia a ≠ c

Procedendo analogamente:

y = 12·x/5 - a/5-------> [x,12·x/5 - a/5]

d = ABS(5·(12·x/5 - a/5) - 12·x + c)/√(5^2 + (-12)^2)

eguagliando le due distanze:

ABS(12·(- 5·x/12 - b/12) + 5·x + (b - 60))/√(5^2 + 12^2) =

=ABS(5·(12·x/5 - a/5) - 12·x + c)/√(5^2 + (-12)^2)

si ha:

ABS(-60)/13 = ABS(c - a)/13-----> ABS(c - a) = 60

quindi: c = a + 60  v  c = a - 60