[Risolto] Esercizio iperbole

@fedefanni

Ciao.

Osservo che l'equazione data:

3·y^2 + 2·k·x·y - 2·k·x - 4·y + 4 = 0----> x = (3·y^2 - 4·y + 4)/(2·k·(1 - y))

può essere risolta in modo univoco solo rispetto alla variabile x . Quindi se si considera la y anziché la x come variabile indipendente le considerazioni fatte per le funzioni razionali fratte y=f(x) possono ripetersi per questa funzione in y: x = f(y).

Quindi un asintoto orizzontale : y=1

Un asintoto obliquo determinabile svolgendo lo sviluppo della funzione ottenuta x=f(y):

x = - 3/(2·k·(y - 1)) - 3·y/(2·k) + 1/(2·k)

L'asintoto obliquo lo si legge dagli ultimi due addendi:

x=- 3·y/(2·k) + 1/(2·k)

Quindi vediamo come impostare il problema con la retta:

8·x - 6·y + q = 0-----> x = 3·y/4 - q/8

Quindi sistema e ragioniamo sul confronto:

{- 3/(2·k) = 3/4

{1/(2·k) = - q/8

risolvo ed ottengo: [k = -2 ∧ q = 2]

x = (3·y^2 - 4·y + 4)/(2·(-2)·(1 - y))

x = (3·y^2 - 4·y + 4)/(4·(y - 1))

x = 3·y/4 - 2/8------> x = 3·y/4 - 1/4

 

La retta
* r ≡ 8*x − 6*y + 1 = 0 ≡ y = (8*x + 1)/6
ha pendenza m = 4/3
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Per classificare le coniche date in forma normale canonica generalizzata
* C(k) ≡ 3*y^2 + 2*k*x*y − 2*k*x − 4*y + 4 = 0
dove {x, y, k} ∈ R, conviene anzitutto esaminare il caso k = 0 e poi calcolarne i tre invarianti classificatorii secondo la procedura illustrata al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche#Classificazione_metrica_delle_coniche
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Per k = 0 si ha
* Γ(0) ≡ 3*y^2 − 4*y + 4 = 0
una parabola degenere in una coppia di parallele all'asse x, distinte e immaginarie.
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Per k != 0 si ha
* ∇(3*y^2 + 2*k*x*y − 2*k*x − 4*y + 4) = (2*k*(y - 1), 2*(k*x + 3*y - 2)) = (0, 0) ≡
≡ (k*(y - 1) = 0) & (k*x + 3*y - 2 = 0) & (k != 0) ≡
≡ (x = - 1/k) & (y = 1)
quindi le Γ(k) sono centrate in C(- 1/k, 1) e il luogo dei centri è la retta y = 1.
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INVARIANTI (per k != 0)
Da
* C(k) ≡ 3*y^2 + 2*k*x*y − 2*k*x − 4*y + 4 = 0
si ha
* a = 3; b = k; c = 0; d = - k; e = - 2; f = 4
* I1 = a + c = 3 > 0
* I2 = a*c - b^2 = - k^2 < 0
* I3 = a*(c*f - e^2) - b*(b*f - d*e) + d*(b*e - c*d) =
= - 3*(- 2)^2 - k*(k*4 - (- k)*(- 2)) - k*(k*(- 2)) = - 12 < 0
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CLASSIFICAZIONE (per k != 0)
* I3 != 0 ≡ C(k) non degeneri.
* (I2 < 0) & (I1 != 0) ≡ C(k) è un'iperbole non equilatera.
CIOE'
per ogni valore di k != 0, C(k) è un'iperbole non equilatera con assi non paralleli a quelli coordinati stante la presenza del termine rettangolare.
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Nella forma
* C(k) ≡ x = 3*y^2/(2*k*(1 - y)) + 2/k
si vede l'asintoto orizzontale y = 1, luogo dei centri; per quello obliquo si applica la solita procedura
* lim_(y → ∞) (3*y^2/(2*k*(1 - y)) + 2/k)/y = - 3/(2*k)
* lim_(y → ∞) (3*y^2/(2*k*(1 - y)) + 2/k - (- 3/(2*k))*y) = 1/(2*k)
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L'asintoto obliquo risulta
* x = 1/(2*k) - (3/(2*k))*y ≡ y = (1 - 2*k*x)/3
di pendenza - 2*k/3 che, per il parallelismo richiesto, deve soddisfare a
* - 2*k/3 = 4/3 ≡ k = - 2
da cui, infine, il
RISULTATO
* C(- 2) ≡ 3*y^2 - 4*x*y + 4*x - 4*y + 4 = 0
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+3*y%5E2-4*x*y--4*x-4*y--4%3D0