[Risolto] Esercizio integrale

L’integrale è in effetti risolvibile per parti, ma non è elementare.

Tenendo presente che:

$$\int{{{2}^{x}}\,dx=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}}$$

si ha:

$$\int{{{2}^{x}}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)+\frac{3}{\ln 2}\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx\;.$$

L’integrale di ${{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)$si può risolvere per parti utilizzando però il fattore $sin(6x)$ come fattore integrale:

$\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{6}\int{{{2}^{x}}\cos \left( 6x \right)}\,dx=$

$\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{6}\int{{{2}^{x}}\cos \left( 6x \right)}\,dx=$

$=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{36}{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)-\frac{{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}{36}\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx$

L’integrale risulta espresso in funzione di stesso, e quindi possiamo ricavarlo esplicitandolo:

$\left( 1+\frac{{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}{36} \right)\int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=-\frac{1}{6}\cos \left( 6x \right){{2}^{x}}+\frac{\ln 2}{36}{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \int{{{2}^{x}}\sin \left( 6x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}\left( \ln 2\sin \left( 6x \right)-6\cos \left( 6x \right) \right)}{36+{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}+c\ .$

In conclusione, l’integrale di partenza è dato da:

$$\int{{{2}^{x}}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)}\,dx=\frac{{{2}^{x}}\left( \left( 36+{{\ln }^{2}}2 \right){{\cos }^{2}}\left( 3x \right)+3\ln 2\sin \left( 6x \right)-18\cos \left( 6x \right) \right)}{\ln 2\left( 36+{{\ln }^{2}}2 \right)}+c\ .$$

Eccolo!! mamma mia, un mio docente lo avrebbe chiamato "facchinaggio algebrico" 🙂