Esercizio Gonometria

y = a·x^2 + b·x

{3 = a·1^2 + b·1   (passa per [1, 3])

{- b/(2·a) = 2    (asse parabola x = 2)

Quindi:

{a + b = 3

{b/a = -4

Risolvo ed ottengo:

[a = -1 ∧ b = 4]

y = - x^2 + 4·x

Risolvo il sistema:

{y = x·(4 - x)

{y = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 4 ∧ y = 0]

Punto A [4 ,0]

Determino tangente in A.

{y = - x^2 + 4·x

{y = m·(x - 4)

per sostituzione:

m·(x - 4) = - x^2 + 4·x

- x^2 + 4·x - m·(x - 4) = 0

- x^2 + x·(4 - m) + 4·m = 0

Δ = 0 : condizione di tangenza

(4 - m)^2 + 16·m = 0

m^2 + 8·m + 16 = 0

(m + 4)^2 = 0----> m = -4

y = (-4)·(x - 4)----> y = 16 - 4·x

Coordinate vertice V

y = - 2^2 + 4·2----> y = 4

V [2,4]

A [4, 0]

retta VA:

(y - 4)/(x - 2) = (0 - 4)/(4 - 2)

(y - 4)/(x - 2) = -2----> y = 8 - 2·x

angolo fra le due rette:

TAN(α) = ABS((-4 + 2)/(1 + (-2)·(-4)))

TAN(α) = 2/9----> α = ATAN(2/9)

a. Equazione della parabola.

Equazione delle parabole passanti per l'origine O(0,0) ha equazione $y = ax^2+bx$

la parabola passa inoltre per A(4, 0) e per (1, 3). Impostiamo il sistema

$\begin{cases} 16a+4b = 0 \\ a+b = 3 \end{cases} $

La cui soluzione è $a = -1 \;   ∧   \;  b = 4$

La parabola ha equazione 

$ y = -x^2+4x $   la cui derivata è $y'(x) = -2x+4 $

Vertice della parabola.

dal grafico $V_x = 2$ per cui $V_y = -4+8 = 4$ 

V (2, 4)

b. Equazioni delle rette s e t

i) Equazione retta s passante per A(4,0) e V(2, 4)  $ y = -2x+8 \; ⇒ \; m_s = -2$

ii) Equazione retta tangente in A. $ y = y(4) + y'(4)(x-4) = 0 - 4(x-4) = -4x+16 \; ⇒ \; m_t = -4$

dove con $m_s$ abbiamo indicato il coefficiente angolare della retta s; e con $m_t$ quello della retta t

c. Angolo acuto formato dalle due rette

La tangente dell'angolo acuto formato dalle due rette è data dalla formula di differenza delle tangenti

$ tan (x-t) = \frac{m_s - m_t}{1+m_s \cdot m_t} = \frac{-2+4}{1+8} = \frac{2}{9} $

L'angolo acuto formato dalle due rette è così $ arctan(\frac{2}{9})$

**a.** Iniziamo scrivendo la parabola generica:

$$ y = ax^2 + bx + c.$$

L'obiettivo è trovare $a,b,c$ per avere la parabola.

Dal grafico si conoscono 3 cose

1. L'origine $O (0;0)$ appartiene alla parabola, quindi possiamo sostitutire $y=0$ e $x=0$ nell'equazione. Si ottiene$ 0 = c $.

La parabola a questo punto è 

$$y = ax^2 + bx;$$

2. Anche il punto $P (1;3)$ appartiene alla parabola. Sostituendo ancora $y=3$ e $x=1$ abbiamo $3 = a + b$;

3. La $x_V$ del vertice vale $2$, quindi $-b/2a = 2$ e allora $b=-4a$.

Mettendo a sistema $a + b = 3$ e $b=-4a$ si ottiene $a =-1$ e $b=4$. La parabola è 

$$y=-x^2+4x$$

**b.** La retta $t$ passa per il punto $A$. Dobbiamo trovare il punto $A$. Dal grafico si sa che la $y$ di $A$ vale $0$ e che appartiene alla parabola, quindi basta metterla nell'equazione della parabola

$$0 = -x^2 +4x$$

che ha due soluzioni: $x=0$, che corrisponde all'origine e $x=4$. Quindi il punto $A$ ha coordinate $(0;4)$. La retta $t$ passa per $A$, allora avrà equazione

$$y - 0 = m(x-4) \implies y =mx-4m.$$

Inoltre è la tangente alla parabola quindi possiamo uguagliarle e imporre la condizione di tangenza

$$mx -4m = -x^2 + 4x \implies x^2 +(m-4)x-4m = 0.$$

La condizione di tangenza è che il $\Delta$ dell'equazione di secondo grado sia zero $(m-4)^2+16m=0$. Questa è a sua volta una equazione di secondo grado con variabile $m$. Dopo i calcoli si ottiene:

$$m^2 + 8m + 16=0 \implies (m+4)^2=0$$

quindi la soluzione è $m=-4$ e allora la retta $t$ ha equazione $y = -4x +16$.

**c.** Per l'angolo acuto fra le rette vale la formula

$$ \tan \alpha = |(m_t - m_s)/(1 + m_t m_s)| $$

quindi va trovato il coefficiente angolare della retta $s$, che passa per il vertice della parabola $V(2; -2^2 +4\cdot 2) = V(2;4)$ è per il punto $A(4,0)$. Quindi $m_s = (4 -0)/(2-4) = 4/-2 =-2$. Allora $\tan\alpha = | [-4 - (-2)]/[1 +(-4)\cdot(-2)] | = |-2 / 9| = 2/9$. Quindi l'angolo è  $$\alpha = \arctan 2/9$$