[Risolto] esercizio errore

C'è un procedimento (spiegato a Fisichetta Uno e non riportato nei libri del Liceo) che si chiama "aritmetica degl'intervalli" e ti conduce al risultato corretto con passaggi pedissequi senza dover rammentare regole sul trattamento degli errori e con un'attendibilità maggiore del procedimento basato sulle regole di propagazione.
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Si tratta di definire l'aritmetica nel caso che gli operandi siano, invece di due valori (P, Q) certi, due intervalli d'incertezza (le semidispersioni a e b sono positive)
* P = (p ± a) ≡ p - a <= P <= p + a
* Q = (q ± b) ≡ q - b <= Q <= q + b
e si voglia esprimere nella stessa forma anche il risultato dell'operazione
* R = (r ± c) ≡ r - c <= R <= r + c
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Quasi tutte le operazioni si fanno "minimo con minimo" e "massimo con massimo"
* somma ≡ (p - a) + (q - b) <= P + Q <= (p + a) + (q + b)
* prodotto ≡ (p - a)*(q - b) <= P*Q <= (p + a)*(q + b)
* potenza (k certo): (p - a)^k <= P^k <= (p + a)^k (radice, se k è razionale)
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Invece sottrazione e divisione si fanno "minimo con massimo" e "massimo con minimo"
* differenza ≡ (p - a) - (q + b) <= P - Q <= (p + a) - (q - b)
* rapporto ≡ (p - a)/(q + b) <= P/Q <= (p + a)/(q - b)
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A conti fatti in tutti i casi si ha la situazione
* L <= R <= U
da cui si ottengono
* r = (U + L)/2
* c = (U - L)/2
e il risultato richiesto
* R = ((U + L)/2 ± (U - L)/2)
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Esercizio 67 (misure in mm, mm^2)
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* a = (132 ± 6) mm ≡ 126 <= a <= 138
* b = (75 ± 2) cm = (750 ± 20) mm ≡ 730 <= b <= 780
* c = (120 ± 8) cm = (1200 ± 80) mm ≡ 1120 <= c <= 1280
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Per valutare l'espressione
* d = (a + 3*b)^2/(3*c - 2*b) = (d0 ± Δd)
occorre calcolare quanto segue.
* 1460 <= 2*b <= 1560
* 2190 <= 3*b <= 2340
* 2316 <= a + 3*b <= 2478
* 5363856 <= (a + 3*b)^2 <= 6140484
* 3360 <= 3*c <= 3840
* 3360 - 1560 = 1800 <= 3*c - 2*b <= 2380 = 3840 - 1460
* 6140484/2380 = 219303/85 <= d = (a + 3*b)^2/(3*c - 2*b) <= 170569/50 = 6140484/1800
* d0 = (170569/50 + 219303/85)/2 = 5092703/1700 ~= 2995.7
* Δd = (170569/50 - 219303/85)/2 = 706643/1700 ~= 415.67
da cui
* d ~= (2996 ± 416) mm ~= (300 ± 4) cm
con una precisione nettamente superiore a quella del risultato atteso, calcolato col consueto metodo grossolano che si usa per il calcolo abbreviato.

errore assoluto:

Si sommano tutti gli errori assoluti delle grandezze del numeratore e del denominatore.

(a + 3b)^2 = (a + 3b) * (a + 3b) ; l'errore sulla somma diventa il doppio .

2 * (6 + 3 * 2) + (3 * 8 + 2 * 2) = 2 * 12 + 28;

errore assoluto = 24 + 28 = 52; 

errore assoluto= 50 circa = 0,5 * 10^2 cm; (una sola cifra significativa).

Ciao @anna-sa91