Ho paura che questa traccia metta in crisi qualcuno che legge Geometria 2 ...
Per il momento ti posso dare una mano solo a scrivere questa equazione ( generica )
Applichiamo la definizione : se (x,y) é un punto di questa iperbole, la differenza delle distanze da F1 e F2
deve essere uguale ad una costante che viene individuata dal passaggio per A.
sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] - sqrt [ (x + 2)^2 + (y + 1)^2 ] = 2a
ponendo x = 4 e y = 1
sqrt (1 + 9) - sqrt (36 + 4) = 2a
sqrt(10) - 2 sqrt(10) = 2a => 2a = - sqrt(10)
Ti esce pertanto l'equazione
sqrt [ (x + 2)^2 + (y + 1)^2 ] - sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] = sqrt(10)
che devi portare in forma canonica quadrando
sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] = sqrt (10) + sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ]
Su questo ti lascio i calcoli e ti dò il risultato che dovrebbe essere
3x^2 + 10 xy + 3y^2 - 18x - 14y - 5 = 0
mentre rifletto un pò sul resto. Se dovessi arrivare a qualcosa la scrivo qui sotto.
Per gli asintoti puoi seguire la procedura
https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/1575-geometria-coniche.html
che ti porta a 3x^2 + 10xy + 3y^2 = 0
x/y = -3 V (-1/3)
e le direzioni sono date da (-3,1,0) e (-1/3, 1, 0)
Tra le rette con queste direzioni si devono prendere quelle che passano per il centro C
dell'iperbole, che é il punto medio di F1F2.
I risultati dovrebbero essere x + 3y - 5 = 0 e 3x + y - 3 = 0
https://www.desmos.com/calculator/cjipis1noe
Per il riporto a forma canonica devi trovare gli autovettori ( e operare la
diagonalizzazione ) della matrice associata
[ 3 5 ]
[ 5 3 ]
Gli autovalori sono -2 e 8.
E gli autovettori associati sono u1 = (1 -1)' e u2 = (1 1)'.
Lascio a te il resto della discussione perché lo hai studiato da poco.