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Esercizio di Geometria - Conica

  

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Ciao a tutti, la settimana prossima ho l'esame di geometria 2 e sto avendo problemi con alcuni esercizi. Per alcuni non riesco ad aiutarmi con la conoscenza della teoria. Ad esempio questo:

Nel piano euclideo con riferimento cartesiano R = (O; {i, j}) si consideri l'iperbole C passante per
il punto A = (4; 1) ed avente fuochi F1 = (3; 4) e F2 = (-2;-1).
a) Determinare una forma canonica di C e una isometria che riduce C in tale forma canonica.
b) Determinare, nel riferimento cartesiano R, l'equazione cartesiana dell'iperbole e dei suoi asintoti.

Se è possibile anche con vari riferimenti alla teoria in modo che capisca come posso ricollegarmi.

Grazie in anticipo a chi mi saprà aiutare.

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2 Risposte
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Ho paura che questa traccia metta in crisi qualcuno che legge Geometria 2 ...

Per il momento ti posso dare una mano solo a scrivere questa equazione ( generica )

Applichiamo la definizione : se (x,y) é un punto di questa iperbole, la differenza delle distanze da F1 e F2

deve essere uguale ad una costante che viene individuata dal passaggio per A.

 

sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] - sqrt [ (x + 2)^2 + (y + 1)^2 ] = 2a

 

ponendo x = 4 e y = 1

 

sqrt (1 + 9) - sqrt (36 + 4) = 2a

sqrt(10) - 2 sqrt(10) = 2a =>   2a = - sqrt(10)

 

Ti esce pertanto l'equazione

 

sqrt [ (x + 2)^2 + (y + 1)^2 ] - sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] = sqrt(10)

che devi portare in forma canonica quadrando

sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] = sqrt (10) + sqrt [ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 ] 

 

Su questo ti lascio i calcoli e ti dò il risultato che dovrebbe essere

3x^2 + 10 xy + 3y^2 - 18x - 14y - 5 = 0

 

mentre rifletto un pò sul resto. Se dovessi arrivare a qualcosa la scrivo qui sotto.

 

Per gli asintoti puoi seguire la procedura

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/1575-geometria-coniche.html

che ti porta a 3x^2 + 10xy + 3y^2 = 0

x/y = -3 V (-1/3)

e le direzioni sono date da (-3,1,0) e (-1/3, 1, 0)

Tra le rette con queste direzioni si devono prendere quelle che passano per il centro C

dell'iperbole, che é il punto medio di F1F2.

 

I risultati dovrebbero essere x + 3y - 5 = 0 e 3x + y - 3 = 0

https://www.desmos.com/calculator/cjipis1noe

 

Per il riporto a forma canonica devi trovare gli autovettori ( e operare la

diagonalizzazione ) della matrice associata

[ 3 5 ]

[ 5 3 ]

Gli autovalori sono -2 e 8.

E gli autovettori associati sono  u1 = (1 -1)' e u2 = (1 1)'.

Lascio a te il resto della discussione perché lo hai studiato da poco.




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MI LIMITERO' A SUGGERIRTI LA PROCEDURA che seguirei io, se non facessi talmente tanti errori strada facendo che non converrebbe né a me né a te.
Fondamentalmente, il mio suggerimeento è di invertire l'ordine delle operazioni che è implicitamente suggerito nella traccia.
------------------------------
Spero non ti dia fastidio se la conica la chiamo Γ e uso il nome C per il centro, punto medio dei fuochi
* F1(3, 4) oppure F2(- 2, - 1) → C(1/2, 3/2)
L'asse focale è sulla retta "y = x + 1" di pendenza uno, e l'asse non trasverso sulla "y = 2 - x" di pendenza meno uno.
---------------
Con una traslazione dal riferimento Oxy ad ΩXY che porti C(1/2, 3/2) in Ω, gli assi diventano le bisettrici dei quadranti
* (Y = X) & (Y = - X)
e i punti F1, F2, A vanno in F1', F2', A'.
---------------
Con una rotazione antioraria di π/4 inttorno ad Ω, dal riferimento ΩXY ad Ωxy (stessi nomi di R, ma un piano diverso), i punti F1', F2', A' vanno in F1''(- c, 0), F2''(c, 0), A''(u, v).
---------------
Nel piano Ωxy ogni iperbole con fuochi (± c, 0) ha equazione, in forma normale standard,
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
dove
* (c^2 = a^2 + b^2) & (a > 0) & (b > 0) & (c > 0)
e quelle per (u, v) devono anche soddisfare al vincolo
* (u/a)^2 - (v/b)^2 = 1
quindi il sistema
* ((u/a)^2 - (v/b)^2 = 1) & (c^2 = a^2 + b^2) & (a > 0) & (b > 0) & (c > 0)
fornisce i valori dei semiassi (a, b) con cui scrivere la forma normale standard,
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
e da essa ricavare la richiesta forma normale canonica
* b^2*x^2 - a^2*y^2 - a^2*b^2 = 0
---------------
Applicando le trasformazioni inverse ti poni in condizione di rispondere ai quesiti nell'ordine suggerito.

 

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