(a) Poiché il sistema è isolato, il momento angolare totale del sistema si conserva. Inizialmente, il momento angolare del sistema è dato dalla somma del momento angolare del sistema sgabello+Carletto e del momento angolare della palla rispetto all'asse di rotazione. Dopo che Carletto ha afferrato la palla, il momento angolare del sistema sarà dato dalla somma del momento angolare del sistema sgabello+Carletto+palla. Pertanto, il momento angolare totale del sistema si conserva.
(b) Poiché il momento angolare totale del sistema si conserva, possiamo utilizzare la conservazione del momento angolare per trovare la velocità angolare finale del sistema. Inizialmente, il momento angolare del sistema è dato da:
$L_i = I_i\omega_i + mr^2\omega_i$
dove $I_i$ è il momento d'inerzia del sistema sgabello+Carletto, $\omega_i$ è la velocità angolare iniziale del sistema sgabello+Carletto, $m$ è la massa della palla, $r$ è la distanza della palla dall'asse di rotazione e $\omega_i$ è la velocità angolare della palla rispetto all'asse di rotazione. Dopo che Carletto ha afferrato la palla, il momento angolare del sistema diventa:
$L_f = I_f\omega_f$
dove $I_f$ è il momento d'inerzia del sistema sgabello+Carletto+palla e $\omega_f$ è la velocità angolare finale del sistema sgabello+Carletto+palla. Poiché il momento angolare totale del sistema si conserva, abbiamo:
$L_i = L_f$
che può essere riscritto come:
$I_i\omega_i + mr^2\omega_i = I_f\omega_f$
Sostituendo i valori noti, otteniamo:
$5.5,\text{kg m}^2\cdot\omega_i + 2.0,\text{kg}\cdot(0.5,\text{m})^2\cdot\omega_i = (5.5+2.0),\text{kg m}^2\cdot\omega_f$
Semplificando, otteniamo:
$7.5,\text{kg m}^2\cdot\omega_i = 7.5,\text{kg m}^2\cdot\omega_f$
Quindi, la velocità angolare finale del sistema sgabello+Carletto+palla è la stessa della velocità angolare iniziale del sistema sgabello+Carletto:
$\omega_f = \omega_i = \frac{3.0,\text{m/s}}{0.5,\text{m}} = 6.0,\text{rad/s}$
(c) La energia cinetica del sistema prima che Carletto abbia afferrato la palla è data dalla somma dell'energia cinetica del sistema sgabello+Carletto e dell'energia cinetica della palla:
$K_i = \frac{1}{2}I_i\omega_i^2 + \frac{1}{2}mv^2$
dove $v$ è la velocità della palla. Dopo che Carletto ha afferrato la palla, la energia cinetica del sistema diventa:
$K_f = \frac{1}{2}I_f\omega_f^2$
dove $I_f$ è il momento d'inerzia del sistema sgabello+Carletto+palla e $\omega_f$ è la velocità angolare finale del sistema sgabello+Carletto+palla. Sostituendo i valori noti, otteniamo:
$K_i = \frac{1}{2}(5.5,\text{kg m}^2)\cdot(3.0,\text{m/s}/0.5,\text{m})^2 + \frac{1}{2}(2.0,\text{kg})\cdot(3.0,\text{m/s})^2 = 37.5,\text{J}$
$K_f = \frac{1}{2}(7.5,\text{kg m}^2)\cdot(6.0,\text{rad/s})^2 = 135,\text{J}$
(d) L'energia cinetica del sistema aumenta dopo che Carletto ha afferrato la palla. Questo è dovuto al fatto che la palla ha una certa energia cinetica iniziale dovuta alla sua velocità, che viene trasferita al sistema sgabello+Carletto quando Carletto la afferra. Inoltre, poiché il momento angolare del sistema si conserva, la palla contribuisce ad aumentare il momento d'inerzia totale del sistema, e quindi la velocità angolare del sistema diminuisce, ma l'energia cinetica totale aumenta.
