[Risolto] Esercizio di Analisi Reale

Ciao @andrea_c6897, come già ti hanno detto la prossima volta cerca di pubblicare seguendo il regolamento.

Stavolta ti rispondo perché mi rendo conto che non è semplicissimo trascrivere su LaTex quanto scritto e comunque la domanda che poni è interessante.

Gli indici j escono dalla seguente osservazione: la serie originale

$ \sum_k (-1)^k x^{2k+1}$

è una serie di potenze in cui però gli esponenti di x sono solo le potenze dispari: 1,3,5,...

Scriviamo allora una serie di potenze in modo che l'esponente includa tutte le potenze, pari e dispari:

$ \sum_j a_j x^{j}$

dove l'indice è stato chiamato j invece che k per far capire che è un'altra serie.

Come facciamo a rendere questa serie uguale a quella originale, modificando il valore di $a_j$ in modo appropriato? 

Guarda cosa succede nella serie originale, al variare di k:

- Per k=0 -> $(-1)^0 x^{2*1+1} = 1 x^1$

- Per k=1 -> $(-1)^1 x^{2*1+1} = (-1) x^3$

- Per k=2 -> $(-1)^2 x^{2*2+1} = (+1) x^5$

- Per k=3 -> $(-1)^3 x^{2*3+1} = (-1) x^ 7$

- Per k=4 -> $(-1)^4 x^{2*4+1} = (+1) x^ 9$

- Per k=5 -> $(-1)^5 x^{2*5+1} = (-1) x^ 11$

- Per k=6 -> $(-1)^6 x^{2*6+1} = (+1) x^ 13$

- Per k=7 -> $(-1)^7 x^{2*7+1} = (-1) x^ 15$

Guarda cosa succede all'esponente della x, che nella serie trasformata abbiamo chiamato j:

- La x non ha mai esponente $j=0$, quindi per $j=0$ dobbiamo porre $a_j = 0$ (in realtà si poteva far meglio scrivendo la serie per j che parte da 1, invece che 0, ma è lo stesso)

- Quando la x ha esponente 3,7,11,15... il coefficiente è $(a_j)=(-1)$. Che regola possiamo seguire? Nota che sono i numeri dispari alternati, quindi si seguono ad intervalli di 4 per ognuno di essi la divisione per 4 ci dà resto 3, quindi possiamo scrivere che sono gli esponenti pari ai valori $j=3mod4$.

- Quando la x ha esponente 5,9,13,... il coefficiente è $(a_j)=(+1)$. Anche qui sono i numeri dispari alternati con intervallo di 4, ma stavolta sono quelli con resto 1: $j=1mod4$

Quindi possiamo trasformare la serie originale, nella serie di potenze $ \sum_j a_j x^{j}$, se 

$a_j$ = 

{ 0, se j=0

{-1, se j=3mod4

{+1, se j=1mod4

 

Noemi

Dove il Regolamento dice di TRASCRIVERE intende su tastiera, non su un foglietto da allegare in foto.