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[Risolto] Esercitazione 2

  

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Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di massimo e minimo assoluto della seguente funzione
$$
f(x, y)=\sin x \cdot \sin y
$$

immagine 2022 01 18 114700
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1 Risposta



1

Io qui copio pari pari dalla mia precedente risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/39866/
che tu da una parte hai apprezzata con un voto positivo (grazie!), ma dall'altra hai disprezzato pubblicando questa domanda; se l'avessi apprezzata nel ragionamento che me l'ha fatta scrivere l'avresti copiata da te, senza pubblicare questa.
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Il mio modello di sviluppo si riassume in pochi passi.
1) Dalla forma della funzione si vede se possa avere estremi assoluti; se sì, li si ricerca alla fine; se no, se ne annota il motivo.
2) Azzeramento del gradiente per ottenere gli eventuali punti critici; se non ce ne sono si prosegue dal passo cinque, altrimenti dal passo sei.
3) Se i punti critici ci sono si forma l'hessiana, si calcola l'hessiano e lo si valuta su ciascuno dei punti critici identificando subito quelli degeneri e quelli di sella; quelli non identificati sono estremi relativi.
4) Se ci sono estremi relativi li si classifica valutando H[1, 1] (la funzione in alto a sinistra nell'hessiana) in ciascuno di essi.
5) La ricerca degli estremi assoluti si conduce fra quelli relativi e sull'eventuale frontiera.
6) Dopo di che l'esame termina.
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NEL CASO IN ESAME
Date le periodicità, basta studiare il quadrato {[0, 2*π), [0, 2*π)}.
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1) La funzione
* f(x, y) = sin(x)*sin(y)
in quanto prodotto di seni è limitata entro ± 1; gli estremi assoluti ci sono.
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2) Punti P critici
* nabla[sin(x)*sin(y)] = (cos(x)*sin(y), sin(x)*cos(y))
* (cos(x)*sin(y) = 0) & (sin(x)*cos(y) = 0) & (0 <= x < 2*π) & (0 <= y < 2*π) ≡
≡ P in {(0, 0), (0, π), (π/2, π/2), (π/2, 3*π/2), (π, 0)}
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3) Test delle derivate seconde
* nabla[cos(x)*sin(y)] = {}
del (cos(x) sin(y)) = (- sin(x)*sin(y), cos(x)*cos(y))
* nabla[sin(x)*cos(y)] = {cos(x)*cos(y), - sin(x)*sin(y)}
* H(x, y) = {(- sin(x)*sin(y), cos(x)*cos(y)), {cos(x)*cos(y), - sin(x)*sin(y)}}
* h(x, y) = - (cos(2*x) + cos(2*y))/2
VALUTAZIONI
* h(0, 0) = - (cos(2*0) + cos(2*0))/2 = - 1 < 0 (punto di sella)
* h(0, π) = - (cos(2*0) + cos(2*π))/2 = - 1 < 0 (punto di sella)
* h(π/2, π/2) = - (cos(2*π/2) + cos(2*π/2))/2 = 1 > 0 (estremo)
* h(π/2, 3*π/2) = - (cos(2*π/2) + cos(2*3*π/2))/2 = 1 > 0 (estremo)
* h(π, 0) = - (cos(2*π) + cos(2*0))/2 = - 1 < 0 (punto di sella)
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4) Estremi relativi
* H[1, 1](π/2, π/2) = - sin(π/2)*sin(π/2) = - 1 < 0 (massimo relativo)
* H[1, 1](π/2, 3*π/2) = - sin(π/2)*sin(3*π/2) = + 1 > 0 (minimo relativo)
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5) Estremi assoluti
Non è che ci sia tanto da scegliere: nessuna frontiera, uno solo per tipo.

 

@exprof scusami, ma io ho bisogno solamente di verificare che il mio esercizio sia corretto e fare un confronto con i vostri,capire gli errori e vedere se il risultato sia giusto!



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