[Risolto] Problema fisica, senza dati

Centro di massa in due dimensioni

Nel caso bidimensionale la formula viene estesa in modo piuttosto semplice: le coordinate del centro di massa di un sistema di particelle nel piano cartesiano si ottengono applicando la formula unidimensionale lungo i due assi, separatamente
$$
x_{c m}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}} \quad ; \quad y_{c m}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}
$$

 

dove m_i sono le singole masse, nel nostro caso tutte uguali ad M e (Xi, Yi) le coordinate cartesiane dei cinque centri (cinque centri di massa per l'ipotesi di uniformità) nel sistema di riferimento scelto. 

Prendiamo come origine del nostro sistema di riferimento il centro del cerchio nero e per ogni cerchio troviamo le coordinate del C. rispetto all'origine scelta.

C_cerchio nero=(0, 0)

C_cerchio rosso=(2R, 0)

C_cerchio azzurro = (-2R, 0)

C_cerchio verde = (R, -R) 

C_cerchio giallo = (-R, - R) 

Essendo la figura simmetrica rispetto all'asse y, poiché per ogni punto P(x, y) appartenente ad essa esiste un punto P1(-x, y) avente stessa ordinata e valore di ascissa opposta ed essendo tutte le masse uguali, uniformemente distribuite, l'ascissa del centro di massa risulta uguale a zero.

Xcm= 0

Da calcolo: 

Xcm=M*(0+2R-2R+R-R) / 5M = 0

L'ordinata del centro di massa sarà invece:

Ycm= M* (0+0+0-R-R) / (M+M+M+M+M) =

 = - 2R*M / 5M = - 2R/5