es mate 49 e 50

50: I cateti di un triangolo rettangolo misurano 2 cm e 1,5 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli rettangoli che si ottengono tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa.

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 Ipotenusa $\small i= \sqrt{C^2+c^2} = \sqrt{2^2+1,5^2} = 1,5\,cm$ (teorema di Pitagora);

area del triangolo rettangolo $\small A= \dfrac{C×c}{2} = \dfrac{\cancel2×1,5}{\cancel2} = 1,5\,cm;$

altezza relativa all'ipotenusa $\small h= \dfrac{2A}{i}= \dfrac{2×1,5}{2,5} = \dfrac{3}{2,5} = 1,2\,cm;$

calcola le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa applicando il teorema di Pitagora come segue:

proiezione cateto minore $\small pc= \sqrt{c^2-h^2} = \sqrt{1,5^2-1,2^2} = 0,9\,cm;$

proiezione cateto maggiore $\small pC= \sqrt{C^2-h^2} = \sqrt{2^2-1,2^2} = 1,6\,cm;$

- perimetro del triangolo minore $\small 2p_1= c+h+pc = 1,5+1,2+0,9 = 3,6\,cm;$

- perimetro del triangolo maggiore $\small 2p_2= C+h+pC = 2+1,2+1,6 = 4,8\,cm;$

Il primo è già stato risolto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto-problema-di-geometriaaa/

S = AB*HC/2 = 60*28.8 = 864 cm²

dal 2° di Euclide

CH² = AH*HB = (30-HM)(30 + HM) = 28.8² ---> HM = x ≈ 8.4cm

AH = 30-HM = 21.6 cm

dal 1° di Euclide

AC² = AB*AH = 60(60- 21.6) = 48² cm²

AC=sqrt(60(60- 21.6)) =48 cm

HB = 30 + 8.4 = 38.4

BC² = AB*HB = 60(60 - 38.4 ) = 36² cm²
BC  =  36 cm

36*48/2=S= 864 cm² --> ok !

2p = (60+36+48)= 144 cm  {significa che la figura non è in proporzione!... che l'area colorata è da diversa banda}

AM = MB per costruzione, ma...

30cm = MC = AM = MB

... perchè le "diagonali dei parallelogrammi si bisecano!".

Quindi M è l'incontro delle eventuali diagonali, centro dell'eventuale rettangolo.

2p' = 28.8 + 8.4 + 30 = 67.2 cm ---> ok!

S' = 28.8*8.4/2 = 120.96 cm²

49 

detta x la proiezione AH :

28,8^2 = x*(60-x)

28,8^2-60x+x^2 = 0

x = (60-√60^2-28,8^2*4)/2 = 21,6 cm

proiezione BH = 60-21,6 = 38,4 cm

HM = 60/2-21,6 = 8,4 cm 

CM = √28,8^2+8,4^2 = 30 cm 

AC = √21,6*60 = 36 cm

BC = √38,4*60 = 48 cm 

triangolo ABC

Area A = 36*48/2 = 864 cm^2

perimetro 2p = 36+48+60 = 144 cm 

triangolo CHM 

area A' = 8,4*28,8/2 = 120,96 cm^2 

perimetro 2p' = 28,8+8,4+30 = 67,2 cm 

50

I cateti di un triangolo rettangolo misurano 2 cm e 1,5 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli rettangoli che si ottengono tracciando l'altezza h relativa all'ipotenusa.

risolvo in mm :

ipotenusa i = √20^2+15^2 = 25,0 mm

altezza h = 20*15/25 = 300/25 = 12,0 mm

pr1 = √15^2-12^2 = 9,0 mm

pr2 = 25-9 = 16,0 mm

perimetro 2p1 = 15+12+9 = 36 mm

perimetro 2p2 = 20+12+16 = 48 mm