[Risolto] Equazioni parametriche e funzioni

Ciao!

Esercizio 4 

Trova per quali valori di $k$ l'equazione $3kx^2-6x+3k-8 = 0 $ 

a. Ammette soluzioni reali

Dato che stiamo parlando di un'equazione di secondo grado nella variabile $x$, per ammettere soluzioni reali $\Delta$ non può essere negativo (In quel caso l'equazione risulta impossibile), di conseguenza dobbiamo imporre $\Delta \geq 0$

Ricordiamoci che $\Delta = b^2-4ac$, dove nel nostro caso $a = 3k$; $b = -6$, $ c= 3k-8$

Quindi dobbiamo risolvere la disequazione:

$(-6)^2 -4(3k)(3k-8) \geq 0 $

$36 -36k^2 +96k \geq 0 $

$ -3k^2 + 8 k + 3 \geq 0 $

La sua equazione associata ha soluzioni: $ k = \frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{-6} =\frac{-8 \pm 10}{-6}$ $k_1 = 3 \vee k_2 = -\frac13$

dunque la soluzione della disequazione (e dell'esercizio) è  $ -\frac13 \leq k \leq 3$

b. ha due soluzioni tali che il quadrato del loro prodotto è maggiore di 1 

Se ha due soluzioni allora $ -\frac13 < k < 3$  

per il quadrato del loro prodotto, cominciamo a determinare il prodotto di due soluzioni di un'equazione di secondo grado:

$\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{b^2-\sqrt{\Delta}^2}{4a^2} =  \frac{b^2-\Delta}{4a^2} =$

$= \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = = \frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2} = = \frac{4ac}{4a^2}= \frac{c}{a}$

quindi, il quadrato del loro prodotto è $\frac{c^2}{a^2}$ che nel nostro caso corrisponde a

$\frac{(3k-8)^2}{(3k)^2} = \frac{9k^2+64-48k}{9k^2} > 1 $

$\frac{9k^2+64-48k}{9k^2} - 1 > 0$

$\frac{9k^2+64-48k-9k^2}{9k^2} >0 $

$\frac{64-48k}{9k^2} > 0 $

$N \geq 0 \Rightarrow -48 k > 64 \Rightarrow k < -\frac43 $

$D > 0 \Rightarrow 9k^2 > 0 \Rightarrow \forall k \neq 0 $

Facendo la tabella dei segni otteniamo $k < -\frac43$ ma dobbiamo ricordarci che ci interessano soltanto valori $ -\frac13 < k < 3$  quindi non esistono valori di $k$ con queste due proprietà.

 

Esercizio 5

$$f(x) = \frac{2x^2-3x-2}{x}$$

a. è definita: ovvero il suo dominio, che è $x \neq 0 $

b. è positiva:  dobbiamo risolvere $f(x) > 0 $

$\frac{2x^2-3x-2}{x} > 0 $

$ N > 0 \Rightarrow 2x^2-3x-2 > 0 \Rightarrow x < -\frac12 \vee x > 2 $

$D > 0 \Rightarrow x > 0$

facendo la tabella dei segni otteniamo $ -\frac12 < x < 0 \vee x > 2 $

c. $f(x) < -3$ 

$\frac{2x^2-3x-2}{x} < -3 $

$\frac{2x^2-3x-2}{x} +3 < 0 $

$\frac{2x^2-3x-2+3x}{x}< 0$

$ \frac{2x^2-2}{x} < 0$

$N > 0 \Rightarrow 2(x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x < -1 \vee x > 1 $

$D > 0 \Rightarrow x > 0 $

Facendo lo studio dei segni, dobbiamo prendere quando il prodotto è negativo, quindi

$x < -1 \vee 0 < x < 1$