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Equazioni fratta

  

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2

Penso di essere in grado di risponderti. Però non sono tante? Teoria:

Tutte le equazioni fratte si possono risolvere nel seguente modo:

a) calcoli il mcm dei denominatori delle seguenti equazioni

b) imponi le condizioni di accettabilità o di esistenza di ogni fattore che costituisce il mcm

c) moltiplica le singole equazioni per il mcm eliminando quindi tutte le frazioni e riportandoti ad equazioni razionali intere.

d) risolvi tali equazioni verificando che i risultati ottenuti (le soluzioni in x) siano diverse da quanto imposto prima per le C.E. (condizioni di esistenza o di accettabilità)

e) può succedere che alcuni valori di x (in questo caso) si debbano escludere perché incompatibili con le C.E. (che devi sempre stabilire all'inizio). Ovviamente se tutte le soluzioni ottenute in questo modo coincidono con quanto stabilito nelle C.E. le devi escludere e quindi l'equazione risulta impossibile non avendo alcuna soluzione accettabile.

-----------------------------------------------------------

1/x = (3·x + 4)/x^2              * mcmx^2   con C.E. x ≠ 0

x = 3·x + 4

- 2·x = 4

x = -2 accettabile perché compatibile con le C.E.

-------------------------------------------------------

(1 + 4·x)/(4·(x - 1)) + 3/(2·x) = (x + 1)/(x - 1) *mcm 4·x·(x - 1) ≠ 0

con C.E.x ≠ 1 ∧ x ≠ 0

(1 + 4·x)·x + 3·2·(x - 1) = (x + 1)·4·x

(4·x^2 + x) + (6·x - 6) = 4·x^2 + 4·x

4·x^2 + 7·x - 6 = 4·x^2 + 4·x

3·x = 6

x = 2 accettabile perché compatibile con le C.E.

------------------------------------------------------

5·x + 100 = 10000/(100 - 5·x)     * mcm(100-5x)  con C.E. x ≠ 20

10000 - 25·x^2 = 10000

x = 0 accettabile perché compatibile con le C.E.

------------------------------------------------------

(x - 3)/(x + 4) = (5 + x)/(x - 3)  +mcm(x+4)*(x-3)  con C.E.(x + 4)·(x - 3) ≠ 0 

x ≠ -4 ∧ x ≠ 3

quindi:

(x - 3)·(x - 3) = (5 + x)·(x + 4)

x^2 - 6·x + 9 = x^2 + 9·x + 20

15x=-11

x = - 11/15 accettabile perché compatibile con le C.E.

 

 



2

1)

1/x = (3x + 4) / x^2;

x al denominatore non deve annullarsi.

Soluzione per x diverso da 0.

Moltiplichiamo per x^2.

x = 3x + 4;

x - 3x = 4;

- 2x = 4,

x = -4/2 = - 2; (accettabile).

 

2)

(1 + 4x) / [4*(x - 1)] + 3/2x = (x +1) / (x - 1)

Denominatoti diversi da 0. (x - 1) diverso da 0.

2x diverso da 0.

x diverso da 1; x diverso da 0.

mcm = 4 x (x - 1).

x * (1 + 4x) + 3 * 2 * (x - 1) = 4 x * (x + 1);

x + 4x^2 + 6x - 6 = 4x^2 + 4x;

x + 6x - 4x = 6;

3x = 6;

x = 6/2 = 3;

soluzione accettabile.

Sono troppe, le altre falle tu.



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Ogni equazione razionale fratta (eguaglianza fra rapporti di polinomi in x) equivale a (≡ ha le stesse radici di) un sistema composto da un'equazione razionale intera (eguaglianza fra polinomi in x) e tante disequazioni quante ne occorrono per affermare che nessun denominatore sia zero.
Una volta scritte le disequazioni, la procedura per ottenere l'equazione intera a partire da quella fratta consiste di pochi passi che ti mostro in dettaglio solo per il più complicato dei tuoi esercizi.
==============================
Dall'equazione fratta
* (1 + 4*x)/(4*x - 4) + 3/(2*x) = (x + 1)/(x - 1)
si traggono le disequazioni
* (4*x - 4 != 0) & (2*x != 0) & (x - 1 != 0) ≡ (x != 0) & (x != 1)
e l'equazione polinomiale ottenuta come segue.
---------------
A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* (1 + 4*x)/(4*x - 4) + 3/(2*x) = (x + 1)/(x - 1) ≡
≡ (1 + 4*x)/(4*x - 4) + 3/(2*x) - (x + 1)/(x - 1) = 0
---------------
B) Scrivere la somma algebrica delle frazioni a primo membro ed eliminarne il denominatore che, per le disequazioni imposte, non può annullarsi.
* (1 + 4*x)/(4*x - 4) + 3/(2*x) - (x + 1)/(x - 1) = 0 ≡
≡ 3*(x - 2)/(4*(x - 1)*x) = 0 ≡
≡ x - 2 = 0
---------------
C) Scrivere e risolvere il sistema equivalente.
* (x - 2 = 0) & (x != 0) & (x != 1) ≡
≡ (x = 2) & (x != 0) & (x != 1) ≡
≡ x = 2
==============================
* 1/x = (3*x + 4)/x^2 ≡
≡ (1/x - (3*x + 4)/x^2 = 0) & (x != 0) ≡
≡ (- 2*(x + 2)/x^2 = 0) & (x != 0) ≡
≡ (x = - 2) & (x != 0) ≡
≡ x = - 2
------------------------------
* 5*x + 100 = 10000/(100 - 5*x) ≡
≡ (5*x + 100 - 10000/(100 - 5*x) = 0) & (x != 20) ≡
≡ (5*x^2/(x - 20) = 0) & (x != 20) ≡
≡ (x = 0) & (x != 20) ≡
≡ x = 0
------------------------------
Ti lascio il piacere di applicarti sull'ultimo esercizio.

 



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SOS Matematica

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